人教A版高中同步学案数学选择性必修第三册精品课件 第6章 计数原理 6.3.1 二项式定理 (4).pptVIP

;基础落实·必备知识一遍过;学习单元3二项式定理

上一学习单元,我们学习了排列数公式和组合数公式,本学习单元我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的(a+b)n展开的问题.二项式定理,即把(a+b)n展开成单项式之和的公式,在数学上有着非常重要的地位.

在中学阶段,二项式定理安排在计数原理、排列组合知识之后,随机变量及其分布知识之前,能让我们看到二项式定理的“联系性”,它既是计数原理和组合知识的应用,也是解决有关概率问题的基础.本学习单元,我们先观察几个具体的展开式,即(a+b)2,(a+b)3,(a+b)4的展开式,分析展开式的结构,从中发现一般的二项展开式的规律,这些规律是建立二项式定理的关键,它的发现对于我们的观察、分析、归纳、概括等能力的要求较高.在此基础上,我们提出本学习单元的研究内容:多项式运算法则—(a+b)2,(a+b)3,(a+b)4,…,(a+b)n的展开式—二项式定理—二项式系数—应用.这是学习本单元的知识明线,具体内容结构如下图所示:;本学习单元的最终目标是能用多项式运算法则和计数原理推导出二项式定理,并会用它解决有关的简单问题.在这个学习过程中,蕴含数学抽象、数学运算等核心素养.;学习目标;;知识点1二项式定理

(a+b)n=.?

1.这个公式叫做二项式定理.

2.二项展开式:等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,二项展开式共有n+1项.

3.二项式系数:各项的系数(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数.?

?

二项式系数不一定等于对应项的系数;名师点睛

理解二项式定理的注意事项

(1)二项式定理中的字母a,b是不能交换的,即(a+b)n与(b+a)n的展开式是有区别的,二者的展开式中的项的排列顺序是不同的,不能混淆.

(2)二项式定理表示一个恒等式,对于任意的a,b,该等式都成立.

(3)二项式定理中a和b中间用加号连接,若出现减号,“-”归属后边的字母或数,仍可用二项式定理展开.;微思考

二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别?;知识点2二项展开式的通项

(a+b)n展开式中的叫做二项展开式的通项,用Tk+1表示,即通项为展开式的第项:Tk+1=an-kbk.?

书写此公式时要注意a,b的??后顺序及其幂次;名师点睛

二项展开式的通项的特点

(2)字母b的次数和组合数的上标相同.

(3)a与b的次数之和为n.;微思考

(a+b)n与(b+a)n的展开式的第k+1项相同吗?;;问题1写出(a+b)2,(a+b)3,(a+b)4的展开式,分析其运算过程,你能发现什么规律?

问题2由问题1所得到的规律,你能否猜想得到(a+b)n的展开式,并利用组合数加以证明?;探究点一二项式定理的正用、逆用;规律方法1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.

2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.;探究点二利用二项式定理求待定项及系数;(1)求n的值;

(2)求展开式中x3的系数及含x3的二项式系数.;规律方法求二项展开式中的特定项的常见题型及解法

(1)求含xk的项(或xpyq的项)→在通项中令字母的指数为给定的值

(2)求常数项→在通项中令字母的指数为0

(3)求有理项→在通项中令字母的指数为整数;探究点三利用二项式定理解决整除和余数问题;规律方法利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题,通常需将底数化成两数的和与差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系.;本节要点归纳;;1;1;1;4.(例3对点题)设a∈Z,且0≤a13,若512015+a能被13整除,则a=()

A.0 B.1 C.11 D.12;