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提分特训15圆的综合题

1.如图X15-1,△ABC是直角三角形,∠BAC=90°,以AD为直径的☉O与BC相切于点E,EF⊥AB,垂足为点M,且∠F=60°.

(1)若BD=2,求☉O的半径;

(2)判断四边形ACEF的形状,并证明.

图X15-1

2.已知:如图X15-2,AC是☉O的直径,BC是☉O的弦,点P是☉O外一点,∠PBA=∠C.

(1)求证:PB是☉O的切线;

(2)若OP∥BC,且OP=8,BC=2,求☉O的面积.

图X15-2

3.如图X15-3,△ABC内接于☉O,AC为☉O的直径,PB是☉O的切线,B为切点,OP⊥BC,垂足为E,交☉O于D,连接BD.

(1)求证:BD平分∠PBC;

(2)若PD=3DE,求BPBE的值

图X15-3

4.如图X15-4,AB是☉O的直径,点C为☉O上一点,∠BAC=30°,M是OA上一点,过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且∠ECF=∠E.

(1)证明:CF是☉O的切线;

(2)设☉O的半径为1,且AC=CE,求MO的长.

图X15-4

5.如图X15-5,四边形ABCD内接于☉O,BD是☉O的直径,AE⊥CD于点E,DA平分∠BDE.

(1)求证:AE是☉O的切线;

(2)如果AB=4,AE=2,求☉O的半径.

图X15-5

6.如图X15-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,tanB=12,以C为圆心,2为半径画弧,分别交AC,BC于点D,

(1)求图中阴影部分的面积.

(2)判断直线AB与☉C的位置关系,并证明.

(3)在线段AB上是否存在一点P,使得AP·BP=CP2?若存在,求出点P的位置;若不存在,请说明理由.

图X15-6

【参考答案】

1.解:(1)连接OE.

∵BC与☉O相切于点E,∴∠BEO=∠OEC=90°.

∵∠F=60°,∴∠AOE=120°.

∵∠BAC=90°,

∴∠C=60°,∴∠B=30°.

∴在Rt△OEB中,OB=2OE,

∴2+OE=2OE,解得OE=2.

即☉O的半径为2.

(2)四边形ACEF为菱形.

证明:∵∠BAC=90°,∴AC是☉O的切线.

又∵CE是☉O的切线,∴AC=CE.

∵EF⊥AB,∴∠EMB=90°=∠CAB,∴AC∥EF.

∵∠B=30°,∠EMB=90°,

∴∠BEM=60°=∠F,

∴CE∥AF,

∴四边形ACEF为平行四边形.

∵AC=CE,∴?ACEF是菱形.

2.解:(1)证明:连接OB.∵AC是☉O的直径,

∴∠ABC=90°.

∵OC=OB,∴∠C=∠OBC=∠PBA.

∵∠OBC+∠ABO=90°,

∴∠PBA+∠OBA=90°,即OB⊥PB,

∴PB是☉O的切线.

(2)∵OP∥BC,∴∠POB=∠OBC=∠C.

又∵∠ABC=∠PBO=90°,∴△ABC∽△PBO,

∴ACOP=BCOB,即2OB2=

∴OB2=8,∴S☉O=π·OB2=8π.

3.解:(1)证明:连接OB.

∵PB是☉O的切线,∴∠OBP=90°,

即∠OBC+∠PBC=90°.

∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.

∵OP⊥BC,∴∠OCB+∠DOC=90°,

∴∠PBC=∠DOC.

∵∠DOC=2∠DBC,∴∠PBD=∠DBC,

∴BD平分∠PBC.

(2)作DF⊥PB.

∵BD平分∠PBC,DE⊥BC,∴DF=DE.

在Rt△PDF中,sinP=DFPD

在Rt△BEP中,sinP=BEBP=13

4.解:(1)证明:如图,连接OC,

∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.

∵∠BAC=30°,∴∠ABC=60°.

∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC=60°.

在Rt△EMB中,∵∠E+∠MBE=90°,∴∠E=30°.

∵∠E=∠ECF,∴∠ECF=30°,

∴∠ECF+∠OCB=90°.

∵∠ECF+∠OCB+∠OCF=180°,

∴∠OCF=90°,∴CF为☉O的切线.

(2)在Rt△ACB中,∠A=30°,∠ACB=90°,

∴AC=ABcos30°=3,BC=ABsin30°=1.

∵AC=CE,

∴BE=BC+CE=1+3,

在Rt△EMB中,∠E=30°,∠BME=90°,

∴MB=BEsin30°=1+3

∴MO=MB-OB=3-

5.解:(1)证明:连接OA,

∵OA=OD,∴∠1=∠2.

∵DA平分∠BDE,∴∠2=∠3.

∴