人教A版高中同步学案数学精品课件必修第一册精品课件 第3章 一元二次函数、方程和不等式 习题课 单调性与奇偶性的综合应用.pptVIP

第三章习题课单调性与奇偶性的综合应用

重难探究·能力素养速提升目录索引学以致用·随堂检测促达标

学习目标1.理解函数奇偶性与单调性的关系.(逻辑推理)2.能运用函数的单调性与奇偶性等解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题.(数学运算)

重难探究·能力素养速提升

问题1函数的奇偶性,可否为研究函数的性质提供简化?问题2结合具体的函数图象,说明函数奇偶性与单调性之间有什么联系吗?

探究点一函数的单调性与奇偶性判断【例1】下列函数是偶函数且在区间(-∞,0)上单调递减的是()A.y=2x B.y=C.y=|x| D.y=-x2C解析y=2x不是偶函数;y=不是偶函数;y=|x|是偶函数,且函数在(-∞,0)上单调递减,所以C选项正确;y=-x2是二次函数,是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,故选C.

探究点二应用函数的单调性与奇偶性比较大小问题3已知函数一侧的单调性,结合奇偶性,可否知道另一侧的单调性?问题4已知函数单调性,主要能解决什么问题?体现了什么数学思想?【例2】已知偶函数f(x)的定义域为R,f(x)在[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是()A.f(π)f(-3)f(-2) B.f(π)f(-2)f(-3)C.f(π)f(-3)f(-2) D.f(π)f(-2)f(-3)A解析∵f(x)在R上是偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).∵23π,且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,∴f(2)f(3)f(π),∴f(-2)f(-3)f(π).故选A.

延伸探究(1)若将本例中的“单调递增”改为“单调递减”,其他条件不变,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系如何?(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,比较这三个数的大小.?解(1)因为f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以有f(2)f(3)f(π).又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)f(-3)f(π).(2)因为函数为定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上单调递增,所以函数在R上是增函数.因为-3-2π,所以f(-3)f(-2)f(π).

规律方法涉及奇、偶函数有关的函数值大小比较的策略应用函数的单调性与奇偶性判断函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.

探究点三应用函数的单调性与奇偶性解不等式【例3】已知定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)f(m),求实数m的取值范围.解因为f(x)在区间[-2,2]上为奇函数,且在区间[0,2]上单调递减,所以f(x)在区间[-2,2]上单调递减.

延伸探究若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,把区间“[0,2]”改为“[-2,0]”,其他条件不变,求实数m的取值范围.解因为函数为[-2,2]上的偶函数,又函数在区间[-2,0]上单调递减,所以函数在区间[0,2]上单调递增,原不等式可化为f(|1-m|)f(|m|),

规律方法抽象不等式的求解策略解有关奇函数f(x)的不等式f(a)+f(b)0,先将f(a)+f(b)0变形为f(a)-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的不等式.另外,要特别注意函数的定义域.由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号“f”,使不等式得解.

【例4】设f(x)是奇函数,且在(-∞,0)上是减函数,f(1)=0,则xf(x)0的解集是()A.{x|-1x0或0x1}B.{x|x-1或0x1}C.{x|-1x0或x1}D.{x|x-1或x1}D

解析由已知可得f(x)是奇函数,且在(-∞,0)上是减函数,则f(x)在(0,+∞)上是减函数,又f(1)=0,所以f(-1)=0,所以xf(x)0等价于:当x0时,则f(x)0,即f(x)f(-1),解得x-1;当x0时,则f(x)0,即f(x)f(1),解得x1.综上所述,不等式xf(x)0的解集为{x|x-1或x1}.故选D.

延伸探究已知函数f(x)是R上的奇函数,满足对任意的x1,x2∈(-∞,0)(其中x1≠x2),都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)0,且f(-1)=0,则的范围是()A.(-∞,-1)∪[0,1) B.(-1,0)∪(0,1)C.(-∞,-1]∪(0,1] D.(-1,1)B

解析因为对任意的