人教A版高中同步学案数学精品课件必修第一册精品课件 第2章 函数的概念与性质 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式.pptVIP

第二章2.3二次函数与一元二次方程、不等式

基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引学以致用·随堂检测促达标

学习目标1.了解一元二次不等式的现实意义.(数学抽象)2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集.(逻辑推理、数学运算)3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.(直观想象、逻辑推理、数学运算)

基础落实·必备知识一遍过

知识点一:一元二次不等式的概念一元二次不等式的概念及形式(1)概念:我们把只含有未知数,并且未知数的最高次数是_______的不等式,称为一元二次不等式.?(2)形式:①ax2+bx+c0(a≠0);②ax2+bx+c≥0(a≠0);③ax2+bx+c0(a≠0);④ax2+bx+c≤0(a≠0).(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式的x的叫做这个不等式的解,一元二次不等式的组成的集合叫做这个一元二次不等式的.?关键参数一个2成立值所有解解集

名师点睛1.一元二次不等式的二次项系数a有a0或a0两种,注意a≠0.a=0时就不是二次了.2.当a0时,我们通常将不等式两边同乘-1,化为二次项系数大于0的一元二次不等式,但不等号要改变方向,这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式.微思考ax2+bx+c0一定是一元二次不等式吗?提示不一定,当a=0时,就是一元一次不等式了.

知识点二:一元二次不等式的解法二次函数与一元二次方程的解、不等式的解集的对应关系数形结合判别式Δ=b2-4ac?Δ0?Δ=0?Δ0y=ax2+bx+c(a0)的图象???ax2+bx+c=0(a0)的根有两个不相等的实数根x1,x2(x1x2)有两个相等的实数根x1=x2=-没有实数根

判别式Δ=b2-4ac?Δ0?Δ=0?Δ0ax2+bx+c0(a0)的解集?{x|x≠x1}Rax2+bx+c0(a0)的解集???{x|xx1,或xx2}{x|x1xx2}??

名师点睛一元二次不等式与分式不等式(1)结构联系.一元二次不等式可以用符号表示为f(x)g(x)0(或≥0,0,≤0),若把积改为商的形式,一元二次不等式就转变成分式不等式可化为标准形式0(≥0)或0(≤0)(其中f(x),g(x)为整式,且g(x)不为0).

(2)解法联系.分式不等式通过同解变形转化为一元二次不等式求解.分式不等式转化为整式不等式的同解变形如下表:

微思考(1)一元二次不等式ax2+bx+c0恒成立的含义是什么,系数a,b,c之间有什么关系???(2)对任意的一元二次不等式,求解集的关键在哪???提示一元二次不等式ax2+bx+c0恒成立的含义是指不等式的解集为R,系数a,b,c之间的关系是a0且Δ=b2-4ac0.提示关键在于正确画出一元二次函数y=ax2+bx+c的图象.

重难探究·能力素养速提升

问题1用函数解方程和不等式是数学的基本思想方法,其中函数的图象、零点、图象与x轴的关系等是关键要素.请试着根据函数的思想方法,由一元二次函数的图象,利用一元二次方程根的情况,能否得出一元二次不等式的解集?问题2对于“求一元二次不等式的解集”的提问方式,可否换成其他的描述?

探究点一一元二次不等式的求解【例1】解下列不等式.(1)2x2-3x-20;分析先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.

(2)4x2-10;(3)x2-2x+20;解因为x2-2x+2=0的判别式Δ0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R.

(4)-3x2+6x-20.解不等式可化为3x2-6x+20.因为3x2-6x+2=0的判别式Δ=36-4×3×2=120,所以方程3x2-6x+2=0的解

规律方法解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形,使二次项系数为正,使不等式的右侧为0.这一步实际上是用形式的规范性来避免非智力因素的错误,如画错函数图象的开口.(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.注:若能用十字相乘法分解因式,则可快速得出方程的根,合并(2)(3)步.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.

【例2】不等式的解集为()A.{x|-6