人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题.pptVIP

;;基础落实·必备知识一遍过;;;思考辨析

何时两条异面直线所成的角等于其方向向量所成的角,何时两条异面直线所成的角等于其方向向量所成的角的补角?;自主诊断

1.若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为,则直线l1与l2所成的角为();2.[北师大版教材习题]如图,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-ABCD,点E是AD的中点,求直线AB与直线CE所成角的余弦值.;;思考辨析

直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系?;自主诊断

1.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cosm,n=-,则l与α所成的角为()

A.30° B.60°

C.120° D.150°;2.[北师大版例题改编]如图,在正三棱柱ABC-ABC中,底面边长为2,AA=,则直线AB与侧面ACCA所成角的正弦值是.?;解析由正三棱柱知AA⊥平面ABC,故以A为原点,AC,AA所在直线分别为y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.易知n=(1,0,0)是平面ACCA的一个法向量.由△ABC是边长为2的正三角形,;;名师点睛;思考辨析

两个平面的夹角与二面角的平面角有什么区别?;自主诊断

1.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面夹角的大小为

()

A.45° B.135°

C.45°或135° D.90°;2.[北师大版教材例题]在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-ABCD,求二面角A-DC-A的平面角.;解由AA⊥平面ABCD,可知n1=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.

因为A(0,0,1),C(1,1,0),D(0,1,0),;;;解以B为原点,分别以直线BC,BA,BB1为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(如图).;规律方法1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤

(1)建立适当的空间直角坐标系.

(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.

(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.

(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.

2.取值范围:异面直线所成角的取值范围是,故两直线方向向量夹角的余弦值为负时,应取其绝对值.;变式训练1[2024河南周口高二校联考阶段练习]在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB=2,M为棱PC的中点,则异面直线AC,BM所成角的余弦值为();解析连接AC,BD交于点O,连接PO.由题可知,OA,OB,OP两两垂直.

以O为原点,OA,OB,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,;;(1)证明连接AC交BD于点O,连接OM.因为四边形ABCD为矩形,则O为AC中点.又M为PC中点,所以OM∥PA.因为OM?平面MBD,PA?平面MBD,所以PA∥平面MBD.;(2)解由题可得,AB,AD,AP两两垂直,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,0,0),B(2,0,0),M(1,1,1),D(0,2,0),;令x=1,则y=0,z=-1,得n=(1,0,-1).

设直线BM与平面AMD所成角为θ,;★★【例2—2】[2024湖南邵阳高二校考]如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点,M是线段PD上的点.

(1)求证:平面AEM⊥平面PAD.

(2)当AB=AP时,是否在线段PD上存在点M(不包含端点),使直线EM与平面;(1)证明连接AC(图略).因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,

所以△ABC是正三角形.

因为E是BC的中点,所以AE⊥BC.

又AD∥BC,所以AE⊥AD.

因为PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,所以PA⊥AE.

又PA?平面PAD,AD?平面PAD,PA∩AD=A,所以AE⊥平面PAD.

又AE?平面AEM,所以平面AEM⊥平面PAD.;(2)解存在.由(1)可得,AE,AD,AP两两垂直.

以A为原点,AE,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,;规律方法若直线l与平面α的夹角为θ,利用法向量计算θ的步骤如下;变式训练2★★(1)[2024吉林通化梅河口校考]已知四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形,AD=2,DC=4,∠BAD=60°,PD⊥平面ABCD,直线PD与平面PAC所成角为30°,则PD=();解析因为AD=2,DC=AB=4,∠BAD=60°,

由余弦定理得DB2=DA2+AB2-2DA·ABcos∠BAD=4+16-8=12,即DB=2