人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量的数量积运算 (2).pptVIP

;;基础落实·必备知识一遍过;;;思考辨析

向量的夹角与直线夹角范围有何区别?;自主诊断

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×);2.[北师大版教材习题]对于非零向量a,b,根据下列条件求a,b:

(1)cosa,b=1;

(2)cosa,b=-1;

(3)cosa,b=0.;3.[人教B版教材习题]已知ABCD-A1B1C1D1是一个正方体,写出下列向量夹角的大小:;;2.数量积的运算性质

(1)a⊥b?;?

(2)a·a=|a||a|cosa,a=;?

也记作a2

(3)若θ为向量a,b的夹角,则cosθ=.?;3.投影向量的概念;平面β;4.数量积的运算律:

(λa)·b=,λ∈R;?

a·b=(交换律);?

(a+b)·c=(分配律).?;名师点睛

1.对空间向量数量积的理解

(1)两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;;思考辨析

若a·b0,则a,b一定是锐角吗?;自主诊断

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)对于向量a,b,若a·b=0,则一定有a=0或b=0.()

(2)对于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c.()

(3)若a·b0,则a,b是钝角.()

(4)已知e1,e2是夹角为120°的两个单位向量,则向量e1在向量e2上的投影向量为-e2.();2.[人教B版教材习题]已知a,b均为空间向量,分别判断下列各式是否恒成立:

(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;

(2)(a-b)2=a2-2a·b+b2;

(3)(a+b)·(a-b)=a2-b2.;;;规律方法求空间向量的数量积的方法

(1)利用定义,直接利用a·b=|a||b|cosa,b进行计算.

(2)利用图形,计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算.

(3)利用向量的投影向量求向量的数量积.

(4)利用向量的分解:将待求数量积的向量用已知向量的和或差表示,再利用数量积的运算律转化为多个数量积的和或差,从而求之得结果.;变式训练1[人教B版教材例题]如图,在长方体ABCD-ABCD中,E是AA的中点,AA=AD=2,AB=4,求:;;规律方法利用向量数量积求夹角问题的思路

(1)结合图形,平移向量,把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用三角形的知识求解;;变式训练2(1)若非零空间向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则向量a与b的夹角为()

A.30° B.60°

C.120° D.150°;;规律方法利用数量积证明垂直问题的???般方法

将所证垂直问题转化为证明线线垂直,然后把直线转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的线性运算以及数量积运算,证明直线所在向量的数量积等于零,即可证明线线垂直.;变式训练3[2024河南周口高二期末]如图,正方体ABCD-ABCD的棱长为m.;;规律方法求两点间的距离或线段长度的方法;变式训练4[北师大版教材习题]如图,已知PA⊥平面ABC,垂足为点A,;本节要点归纳

1.知识清单:

(1)空间向量的夹角、投影;

(2)空间向量数量积的概念;

(3)空间向量数量积的性质及运算律.

2.方法归纳:转化化归.

3.常见误区:(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定;

(2)当a≠0时,由a·b=0可得a⊥b或b=0.;;1;2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,则AC1与CE的位置关系是()

A.重合 B.平行

C.垂直 D.无法确定;3.[北师大版教材习题]已知a,b,c是两两垂直的单位向量,则|a-2b+3c|=();4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中点,;1;1;5.[人教B版教材习题]已知正方体ABCD-ABCD的棱长为1,求:;1;1;1;1;