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细说：全国高联和初联竞赛大纲

一、初中数学竞赛大纲

1、数

整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约

数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分

类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概

念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

2、代数式

综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数

法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的

证明。

3、方程和不等式

含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方

程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字

母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值

的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。

4、函数

二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系

数的二次函数。

5、几何

三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的

边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、

垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂

定理；四种命题及其关系。

6、逻辑推理问题

抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，

反证法；极端原理的简单应用；枚举法及其简单应用。

二、高中数学竞赛大纲

全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000

年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，

但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试

全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知

识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容

是：

1.平面几何

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松

定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。

几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数

周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，

三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线

性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切

比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的

有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定

理。

函数迭代，简单的函数方程*

3.初等数论

同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定

方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降

法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题

圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组

合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。

覆盖。平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

全国初中数学竞赛（简称初联）是竞赛的起点，也是基础。有家

长问没有经过初联，现在自主招生加分率提高了，能不能进入全国初

中数学竞赛（简称高联），林根老师明确地告诉你：这不可以。不是

不能报名，而是根本没有获胜的可能，下面来看一下林根老师对竞赛

大纲的解析：

一、全国高中数学联赛

联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。各个省份自己组织

的“初赛”、“初试”、“复赛”等等，都不是正式的全国联赛名称

及程序。一试和加试均在每年10月中旬的第一个周日举行。2016年

的全国高联委托湖南的雅礼中学举办，有关题目头条号《林根数学》

有的原题和解答，感兴趣的话，可以翻翻看。

1.一试

考试时间为上午8：00-9：20，共80分钟。试题分填空题和解答

题两部分，满分120分。其中填空题8道，每题8分；解答题3道，

分别为16分、20分、20分。

全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学

教学大纲