备战2025高考数学大一轮复习讲义第七章　§7.3　空间点、直线、平面之间的位置关系.docxVIP

§7.3空间点、直线、平面之间的位置关系

课标要求1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．

知识梳理

1．基本事实1：过________________的三个点，有且只有一个平面．

基本事实2：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有________过该点的公共直线．

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线.

2．“三个”推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．

推论2：经过两条________直线，有且只有一个平面．

推论3：经过两条________直线，有且只有一个平面．

3．空间中直线与直线的位置关系

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；,直线：在同一平面内，没有公共点；)),异面直线：不同在一个平面内，没有公共点.))

4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

图形语言

符号语言

公共点

直线与

平面

相交

____个

平行

____个

在平面内

____个

平面与

平面

平行

____个

相交

____个

5.等角定理

如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角____________________．

6．异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

(2)范围：____________.

常用结论

1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．

2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)没有公共点的两条直线是异面直线．()

(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．()

(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．()

(4)两两相交的三条直线共面．()

2．(必修第二册P147例1改编)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，直线BD1与直线AA1所成角的余弦值是()

A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(6),3)D.eq\f(\r(3),3)

3．(多选)给出以下四个命题，其中错误的是()

A．不共面的四点中，其中任意三点不共线

B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面

C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面

D．依次首尾相接的四条线段必共面

4.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则：

(1)当AC，BD满足条件____________时，四边形EFGH为菱形；

(2)当AC，BD满足条件__________________时，四边形EFGH为正方形．

题型一基本事实的应用

例1已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：

(1)D，B，F，E四点共面；

(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；

(3)DE，BF，CC1三线交于一点．

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跟踪训练1在如图所示的空间几何体中，四边形ABEF与ABCD都是梯形，BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，BE