备战2025高考数学大一轮复习讲义第一章　§1.1　集　合.docxVIP

第一章集合、常用逻辑用语、不等式

§1.1集合

课标要求1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．

知识梳理

1．集合与元素

(1)集合中元素的三个特性：______________、____________、____________.

(2)元素与集合的关系是________或________，用符号____________或____________表示．

(3)集合的表示法：__________、____________、____________.

(4)常见数集的记法

集合

非负整数

集(或自

然数集)

正整

数集

整数集

有理

数集

实数集

符号

N*(或N＋)

2.集合的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中________________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作______(或B?A)．

(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且________，就称集合A是集合B的真子集，记作________(或BA)．

(3)相等：若A?B，且________，则A＝B.

(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为?.空集是__________的子集，是____________的真子集．

3．集合的基本运算

表示

运算

集合语言

图形语言

记法

并集

交集

补集

常用结论

1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．

2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

3．A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.

4．?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，

?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．()

(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()

(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.()

(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)?(A∪B)．()

2．(必修第一册P14T4改编)设集合A＝{x|3≤x7}，B＝{x|2x10}，则(?RA)∩B等于()

A．{x|2x≤3}

B．{x|7x10}

C．{x|2x3或7≤x10}

D．{x|2x≤3或7x10}

3．(必修第一册P35T9改编)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝________.

4．(必修第一册P9T5改编)已知集合A＝{x|0xa}，B＝{x|0x2}，若B?A，则实数a的取值范围为________________.

题型一集合的含义与表示

例1(1)(2023·长春模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|x＋y＝0}，则A∩B的子集个数为()

A．1B．2C．3D．4

(2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的值为()

A．2B．3C．0D．－2

跟踪训练1(1)(2023·苏州模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为()

A．3B．4C．5D．6

(2)若含有3个实数的集合既可表示成eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))，又可表示成{a2，a＋b,0}，则a2024＋b2024＝________.

题型二集合间的基本关系

例2(1)(2023·海口质检)已知集合A＝{x|x5}，B＝{x|1－log2x0}，则()

A．A?B B．B?A

C．A∩B＝? D．A∪B＝R

(2)已知集合A＝{x|x－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B?A，则实数a的取值范围是()

A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))

B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))

C．(－∞，－1)∪[0，＋∞)

D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))∪(0,1)

思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．

(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴