备战2025高考数学一轮复习第五章　§5.3　平面向量的数量积.docxVIP

一、单项选择题

1．(2023·黔西模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，|a－2b|＝3，则a·(a＋b)等于()

A．－2B．－1C．1D．2

2．(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于()

A．－6B．－5C．5D．6

3．(2023·大同模拟)平面向量a与b相互垂直，已知a＝(6，－8)，|b|＝5，且b与向量(1,0)的夹角是钝角，则b等于()

A．(－3，－4) B．(4,3)

C．(－4,3) D．(－4，－3)

4．已知向量a＝(λ＋1,2)，b＝(1，－λ)，若a⊥b，则向量c＝(1,2)在向量a＋b上的投影向量的坐标为()

A．(3,1) B．(1,3)

C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))

5．(2023·泰州模拟)已知平面单位向量a，b，c满足〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝eq\f(2π,3)，则|3a＋2b＋c|等于()

A．0B．1C.eq\r(3)D.eq\r(6)

6．(2023·佛山模拟)在△ABC中，设|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))，那么动点M的轨迹必通过△ABC的()

A．垂心 B．内心

C．重心 D．外心

二、多项选择题

7．(2024·亳州模拟)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的可能取值是()

A．－2B．2C．4D．8

8．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是()

A．a与b的夹角为钝角

B．向量a在b上的投影向量为eq\f(\r(2),2)b

C．2m＋n＝4

D．mn的最大值为2

三、填空题

9．已知向量a＝(2,3)，b＝(－3，－2)，写出一个与a－b垂直的非零向量c＝________.

10.在如图所示的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入重量为60N的物品，在另一个秤盘中放入重量60N的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F1，F2，F3)，若3根细绳两两之间的夹角均为eq\f(π,3)，不考虑秤盘和细绳本身的重量，则F1的大小为________N.

11．(2024·抚州模拟)定义：|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－8，则|a×b|等于________．

12．(2023·西安模拟)已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，其外接圆的圆心为O，则eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.

四、解答题

13．(2023·白银模拟)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝2，∠BAD＝eq\f(π,3)，E是BC边的中点．

(1)试用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))表示eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))；

(2)求eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))的值．

14．(2023·青岛模拟)如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M.

(1)求∠EMF的余弦值；

(2)设eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AF,\s\up6(→))，求λ的值及点M的坐标．

15．(2024·永州模拟)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心O，圆O的半径为1，点P在圆O上运动，则eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))的最小值为()

A．－1B．－2C．1D．2

16．(2023·