备战2025高考数学一轮复习第七章　§7.9　立体几何中的截面、交线问题.docxVIP

一、单项选择题

1．过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC的中点E，F作一个截面，使截面与底面ABCD所成二面角为45°，则此截面的形状为()

A．三角形或五边形 B．三角形或四边形

C．正六边形 D．三角形或六边形

2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝2，AD＝AA1＝4，E，F分别为BB1，A1D1的中点，过点A，E，F作长方体ABCD－A1B1C1D1的一个截面，则该截面的周长为()

A．6eq\r(2) B．6eq\r(5)

C．2eq\r(5)＋4eq\r(2) D．4eq\r(5)＋2eq\r(2)

3．(2023·承德模拟)在三棱锥P－ABC中，AB＋2PC＝9，E为线段AP上更靠近P的三等分点，过E作平行于AB，PC的平面，则该平面截三棱锥P－ABC所得截面的周长为()

A．5B．6C．8D．9

4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为A1B1，B1C1的中点，过M，N的平面所得截面为四边形，则该截面的最大面积为()

A．2eq\r(2)B．2eq\r(5)C.eq\f(3\r(10),2)D.eq\f(9,2)

5.从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥(以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点)而得到的几何体如图所示，用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为()

A．4π－4 B．4π

C．4π－2 D．2π－2

6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，过M，N，B1三点的平面截正方体ABCD－A1B1C1D1所得的截面形状为()

A．六边形 B．五边形

C．四边形 D．三角形

二、多项选择题

7．用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是()

A．锐角三角形 B．直角梯形

C．正五边形 D．正六边形

8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，H是棱BC，D1C1，AA1上的动点(包含端点)，且满足CE＝D1F＝AH，则下列结论正确的是()

A．DB1⊥平面EFH

B．存在E，F，H，使得点D到平面EFH的距离为1

C．平面EFH截此正方体所得截面面积的最大值为3eq\r(3)

D．平面EFH截此正方体所得截面的周长为定值

三、填空题

9．(2024·曲靖模拟)“中国天眼”(如图1)是世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠(球冠是球面被平面所截的一部分，如图2所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的线段叫做球冠的高．若球面的半径是R，球冠的高度是h，则球冠的面积S＝2πRh)．已知天眼的球冠的底的半径约为250米，天眼的反射面总面积(球冠面积)约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为________米.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(参考数值：\r(\f(4,π)－1)≈0.52))

10.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝eq\r(5)，AA1＝3，M为线段BB1上的一动点，则过A，M，C1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为________．

§7.9立体几何中的截面、交线问题答案

1．D2.D3.B4.D

5．C[截面图形应为圆面中挖去一个正方形，且圆的半径是2，则截面圆的面积为4π，

设正四棱锥的底面正方形边长为a，则2a2＝16，所以a＝2eq\r(2)，

正四棱锥的底面正方形的面积为(2eq\r(2))2＝8，

由圆锥中截面的性质，可得圆面中挖去一个正方形与正四棱锥的底面正方形相似，

设圆面中挖去一个正方形的面积为S′，正四棱锥的底面正方形的面积为S，则eq\f(S′,S)＝eq\f(S′,8)＝eq\f(1,4)，从而S′＝2，

所以截面图形的面积为4π－2.]

6．B[如图，在AB上取点Q，且BQ＝3AQ，取CD的中点P，连接QM，BP，NP，B1Q.

在DD1上取点R，且D1R＝3DR，连接NR，MR.

因为eq\f(AQ,CP)＝eq\f(AM,BC)＝eq\f(1,2)，∠QAM＝∠PCB，

所以△QAM∽△PCB，

所以∠AQM＝∠BPC.

又AB∥CD，所以∠ABP＝∠BPC，

所以∠ABP＝∠AQM，所以QM∥BP.

因为N，P分别为C1D1，CD的中点，

所以PN∥CC1，且PN＝CC1.

根据正方体的性质，可知BB1∥CC1，且BB1＝CC1，

所以PN∥BB1，且PN＝BB1，

所以四边形BPNB1是平行四边形，

所以B1N∥BP，所以B1N∥QM.

同理可得NR∥B1Q.