第8练　与圆有关的最值问题.docx

第8练与圆有关的最值问题

一、选择题

1．已知圆C：x2＋y2－4x＝0和直线l：kx－y＋1－2k＝0，则圆心C到直线l的最大距离为()

A．1B．2C．3D.eq\r(2)

答案A

解析因为直线l过定点A(2,1)，

则圆心C(2,0)到直线l的最大距离

d＝AC＝eq\r(?2－2?2＋?1－0?2)＝1.

2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，圆C2：(x－2)2＋(y－3)2＝4，A，B分别是圆C1和圆C2上的动点，则AB的最大值为()

A．5B．6C．7D．8

答案D

解析圆C1的圆心C1(－1，－1)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(2,3)，半径r2＝2，则C1C2＝eq\r(9＋16)＝5r1＋r2＝3，所以两圆外离，AB的最大值为C1C2＋r1＋r2＝8.

3．已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则eq\f(4,b)＋eq\f(1,c)的最小值是()

A．9B．8C．4D．2

答案A

解析圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心为C(0,1)．因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.因此eq\f(4,b)＋eq\f(1,c)＝(b＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,b)＋\f(1,c)))＝eq\f(4c,b)＋eq\f(b,c)＋5≥2eq\r(\f(4c,b)·\f(b,c))＋5＝9，当且仅当b＝eq\f(2,3)，c＝eq\f(1,3)时等号成立．

4．已知直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()

A．[2,6] B．[4,8]

C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]

答案A

解析由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r＝eq\r(2)，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝eq\f(|2＋2|,\r(1＋1))＝2eq\r(2)，

所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝3eq\r(2)，

最小距离是d－r＝eq\r(2).

易知A(－2,0)，B(0，－2)，所以AB＝2eq\r(2)，

所以eq\f(1,2)AB·(d－r)≤S△ABP≤eq\f(1,2)AB·(d＋r)，

即2≤S△ABP≤6.

故S△ABP的取值范围为[2,6]．

5．(多选)已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，则()

A．直线x＋y＋a＝0与直线x＋y－b＝0间的距离是定值

B．点(－a，b)一定在该圆外

C.eq\r(a2＋b2)的最小值是eq\f(\r(2),2)

D.eq\f(a2,b＋1)的取值范围是(0，＋∞)

答案ACD

解析∵x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，

∴d＝eq\f(|b＋1＋a|,\r(2))＝eq\r(2)，即a＋b＝1(a，b为正实数)，直线x＋y＋a＝0与直线x＋y－b＝0间的距离是eq\f(|a－?－b?|,\r(2))＝eq\f(1,\r(2))(定值)，故A正确；

∵(－a－b)2＋(b－1)2＝12＋a22(0a1)，

∴点(－a，b)一定在该圆内，故B错误；

eq\r(a2＋b2)表示直线a＋b＝1上的点(a，b)到原点的距离，最小为原点到直线的距离等于eq\f(\r(2),2)，故C正确；

∵eq\f(a2,b＋1)＝eq\f(?1－b?2,b＋1)＝(b＋1)＋eq\f(4,b＋1)－4≥0(b＋10)，当且仅当b＝1时取等号，

∵a＋b＝1(a，b为正实数)，

∴0b1，则上式等号不成立．

∴eq\f(a2,b＋1)的取值范围是(0，＋∞)，故D正确．

二、填空题

6．已知圆O：x2＋y2＝1，P为圆O上一点，A(1,2)，B(3，－2)，C(4,0)，则PA2＋PB2＋PC2的最大值为__________．

答案53

解析设P(x，y)，则x2＋y2＝1，x∈[－1,1]，由题意可得PA2＋PB2＋PC2＝[(x－1)2＋(y－2)2]＋[(x－3)2＋(y＋2)2]＋[(x－4)2＋y2]＝3x2＋3y2－16x＋34＝－16x＋37，由于x∈[－1,1]，所以－16x＋37∈[21,53]，所以PA2＋PB2＋PC2的最大值为53.

7.设实数x，y满足(x－1)2＋y2＝1，则eq\f(y,x＋1)的最大值为__________．

答案eq\f(\r(3),3)

解析实数x，y满足(x－1)2＋