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新高考数学解析几何试题分析及教学建议

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严运华

2021年是广东省实施新高考改革的第一年，高考数学不再分文理科，不同选科（3+1+2）的考生都采用同一套试题.新高考仍然坚持中国高考评价体系“一核、四层、四翼”的命题指导思想，试题将“四层”的考查内容及学科关键能力的考查与思想道德的渗透有机结合，通过科学设置“学科核心素养”考查的总体布局，实现融知识、能力、价值的综合测评，从而使“立德树人”真正在高考评价实践中落地.新高考数学试卷呈现新的特点：首先表现在试卷结构上，全卷共22道试题，其中选择题（单选）8道，选择题（多选）4道，填空题4道，解答题6道;其次在试卷的考查内容上，依据课程标准的要求，取消了原来高考数学试题中的选做题（坐标系与参数方程、不等式选讲）;在具体题目的设计上也有新的变化.本文对2021年新高考全国数学Ⅰ卷解析几何试题进行分析并提出教学建议.

一、2021年新高考数学解析几何考查的知识点和核心素养情况

由右上表可知，2021年新高考全国卷解析几何试题特点为：从内容来看，覆盖了直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识，着力于圆锥曲线的定义、方程、几何性质等主干知识的价值和考查力度;从思想方法来看，突出对数形结合、函数与方程、化归与转化、分类与整合等数学思想、方法的理解与应用;从核心素养来看，试题体现对数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养的考查.其中，特别凸显直观想象与数学运算素养的考查，解析几何中的逻辑推理可利用“形”的特征，结合曲线的定义与平面几何的有关性质予以证明或转化为代数运算来证明.也就是说，逻辑推理核心素养的考查一般寓于直观想象和数学运算之中.由于每道试题的解法多样，不同的解法体现不同的数学核心素养，同一解法中也不只涉及一种核心素养.一道试题的完成需要学生具有良好的数学素养，要综合运用多方面的核心素养分析问题并解决问题.上表中试题体现的数学核心素养的水平判断，是依据《普通高中数学课程标准（2017版2020年修订）》中核心素养水平的界定原则而确定的.

二、2021年新高考数学解析几何典型试题分析

新高考数学解析几何试题解法入口宽，且隐含着一般性结论.也就是说，命题者是将一般化的结论特殊化处理后得到了高考试题.

例1.（2021年新高考全国数学Ⅰ卷第5题）已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则MF1·MF2的最大值为（?）

A.13?B.12?C.9?D.6

分析：這是一道单选题，解题方法多，既可用基本不等式也可用二次函数最值进行求解.

解法1：由椭圆定义得MF1+MF2=2a=6，再根据基本不等式

MF1·MF2≤（）2（等号当且仅当MF1=MF2=3时成立），故选C.

解法2：设MF1=t，则MF2=6-t，则MF1·MF2=-（t-3）2+9，由二次函数性质知，MF1·MF2的最大值为9，故选C.

此题隐含的一般结论为：

定理1：已知F1，F2是椭圆C：+=1（ab0）的两个焦点，点M在C上，则MF1·MF2的最大值为a2，最小值为b2.

证明：设MF1=t，则MF2=2a-t，且a-c≤t≤a+c，c为半焦距.

则MF1·MF2=-（t-a）2+a2，而a-c≤t≤a+c，当t=a时，MF1·MF2的最大值为a2，当t=a+c或t=a-c时，MF1·MF2的最小值为a2-c2，即为b2.

例2.（2021年新高考全国数学Ⅰ卷第21题）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（-，0），F2（，0），点M满足MF1-MF2=2.记M的轨迹为C.

（1）求C的方程;

（2）设点T在直线x=上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且TA·TB=TP·TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

分析：本题第1问，利用双曲线的定义即可求解，但要注意双曲线定义的严谨性，由于MF1-MF2=2

第1问还可以直接建立动点M的方程，然后通过化简得出所求的轨迹.当然，这种方法在化简方程时较为繁琐.第一种方法比较快捷.

（1）因为MF1-MF2=2

第2问可根据两点间的距离公式，直接求出TA·TB以及TP·TQ，从而得出直线AB的斜率与直线PQ的斜率关系;也可利用平面几何知识转化为A，B，P，Q四点共圆问题，从而找出经过A，B，P，Q四点的曲线方程，根据圆的方程特征，确定直线AB的斜率与直线PQ的斜率关系.

（2）解法1：用直线的点斜式方程和弦长公式求解.

设点T（，t），若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，不妨设直线AB的方程为y-t=k1（x-），即y=k1x+t-k1，

联立y=k1x+t-

k1，

16x2-y2=16，消去y并整理可得：

（k12-16）x2+k1（2t-k1）x+（t-k1）2+16=0

设