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初中数学中的“尴尬”教学

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摘要：初中数学教学中我们偶然会遇到令自己“尴尬”之时，文中通过四个例子阐述了我们初中数学教学中遇到的疑惑，以及该如何对“最短路线”进行教学作了讨论，揭示了教师们在教学中应注意的问题，说明了常规教法的危害性，阐明了“教学有法，教无定法，贵在得法”的道理。

关键词：初中数学“尴尬”教学“最短路线”

在初中数学教学中，我们常常会遇到有关两条线段之和最短或管道铺设最短的问题。此类问题，我们常常运用轴对称、三角形和勾股定理的知识来解决。可是，我们的常规做法是完全正确的吗？我们不妨来研究讨论一下。

例1.如图（1），在河岸同侧有两点A、B，请在河岸上找一点p,使PA+PB最短。标出点P的位置，并证明你的作法的正确性。

解：要找出点P的位置，我们就要先作点A关于河岸的对称点A′，即作AA′垂直于河岸，与河岸交于点C，且使AC=A′C，连接A′B交河岸于一点P，连接PA，从点A至点P再到点B就是所求作的最短路线。

证明：假设河岸上还有不同于P点的另一点P′，连结P′A、P′B、P′A′。因为P′A+P′B＝P′A′+P′B＞A′B，而A′B=PA′+PB=PA+PB，这里不等式P′A′＋P′B＞A′B成立的理由是三角形任意两边之和大于第三边（或两点之间线段最短），所以PA+PB就是在河岸上所找的最短路线。

例2.如图（2），在⊙o中，AB是直径，C、D是半圆上的两个定点，P是直径AB上的一个动点，当点P运动到什么位置时，才能使PC+PD的值最小？

解决方案：作点D关于AB的对称点E，连结CE，与AB的交点就是所求的P点的位置。

以上两道题目，其做法就是作某一点关于已知直线的对称点，再连结与另一点的线段，与直线的交点即为所求我们初中数学教学中常见的、熟悉的。可是，你们发现没有？上面的做法在有些问题中就不是“最短”路线。我们不妨以下面的两个例题为例来说明我们的常规做法并不是万能的：

例3.如图（3），直线a是一条河，M、N两地相距5km，M、N两地到直线a的距离分别为2km、4km，欲在直线a上的某点P处修建一个水泵站向M、N两地供水。现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）。

这是一道数学课改试题，是由人教版数学课本例题改编而成的。我们不难求出选项A的近似值约为7.5、选项B的结果为7、选项C的近似值约为7.2、选项D的结果为9。我对所教的班进行了考查，大部分学生选的答案是A，也有选C的，而正确答案是B。

学生的普遍性错误，充分暴露了我们的课堂教学还存在许多问题，同时促使教师不断反思自己的教学理念和教学行为，积极推进新课程数学课堂教学。

我们再来看看下面的例子：

例4.已知A、B两村在河流边MN的同侧，这两村分别到河边的距离为AC=2千米、BD=3千米，且CD=3千米。现在要在河边修建一个水泵站，向A、B两村供水，铺设管道的费用为每千米2万元。请你在河边MN上选择水泵站的位置P，使铺设水管的费用最省，并求出最省的总费用是多少。

分析:铺设管道的费用最省即使管道最短。如图（4）作点A的对称点E,连结BE交MN于点P，则PA+PB就是按照我们的常规解法最短的铺设方案。这样算出的结果，总长度为34的算术平方根，其近似值为5.8左右，费用为11.6万元。

11.6万元真的是最省费用吗？我们再来算一算：如图（5），过点A作AP⊥MN，垂足为P，连结AB，于是AB+AP约5.２千米，费用为10.4万元。

耳听为虚，眼见为实。显然，后者比前面的算法少了一万二千元，这究竟是怎么回事呢？这一问题的出现，令许多数学教师感到茫然。今后，我们的教学将何去何从？究竟该如何对这一教学内容进行教学？这是一个摆在我们数学教师面前不可否认的事实，我们曾经的习惯性教学难道没有问题吗？在教学中我们一成不变地采用常规教法是不行的，要灵活应对，这是我们应该注意的，正所谓“教学有法，教无定法，贵在得法”。

这个结果会不会还不是铺设最省的呢？基于上面的问题，我和其他教师进行了一番研究，我们发现其实上面的问题还有“更短”的铺设方案。

笔者认为，作为作图题，我们往往采用常规作对称点的方法，如例1、例2；而对于已知两点的水平距离和这两点到已知直线的距离，如例3、例4这类题目与计算有关，我认为就得考虑其他方法了。我们在教学中遇到此类问题的时候，具体情况需要具体分析，它与多种因素有关，如已知两点之间的水平距离、这两点到已知直线的距离差的大小、这两点所在的直线与已知直线之间的夹角（倾斜程度）等等。由于这些方案比较复杂，对于初中学生难以接受，因此不作教学要求，仅仅作为教学研究罢了。

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-全文完-