2015年全国高中数学联赛挑战极限【平面几何试题】.pdf

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2012全国高中数学联赛挑战极限[平面几何试题]

1.过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B所作割线交圆于

C，D两点，

C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ＝∠PBC．求证：∠DBQ

＝∠PAC．

P

A

C

Q

B

D

⌒



2、如图，，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧BC、

MNABCAB

⌒

的中点．过点作交圆于点，为的内心，连接并

ACCPC∥MNPIABCPI



延长交圆于T．

⑴求证：MPMTNPNT；

⌒

⑵在弧AB（不含点）上任取一点（，，），记，

CQQ≠ATBAQC△QCB

的内心分别为，，求证：Q，，，四点共圆．

IIIIT

1212

PC

NM

I

B

T

A

Q

Ol,lOlAOC

3.一圆切于两条平行线，第二个圆切于，外切于，第

1211

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OlBODOEADBCQ

三个圆切于，外切于，外切于，交于，

221

求证Q是CDE的外心。

（35届IMO预选题）

4.如图，给定凸四边形ABCD，BD180，P是平面上的动点，

令f(P)PABCPDCAPCAB．

（Ⅰ）求证：当f(P)达到最小值时，P,A,B,C四点共圆；

EABCOAE3BC

（Ⅱ）设是外接圆的A