2024-2025学年湖南省长沙市岳麓实验中学高二上学期入学考试数学试卷含详解.docx

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2024年下学期长沙市岳麓实验中学高二入学考试

数学

考试范围：必修部分；考试时间：120分钟，满分120分.

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题（共40分）

1.已知是虚数单位，则的虚部是（）

A. B. C. D.

2.对于①，②，③，④．⑤，⑥，则为第三象限角的充要条件为（）

A.①③ B.④⑥ C.②③ D.②⑤

3若，则（）

A. B. C.2 D.

4.表示的小数部分，则的值是

A.-1 B.-2 C.0 D.

5.函数（其中，的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象

A.向右平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向左平移个单位长度

6.已知函数，是公差不为0的等差数列，，则的值为（）

A.0 B.1 C.2 D.5

7.在平面内，四边形ABCD的与互补，，则四边形ABCD面积的最大值=（）

A. B. C. D.

8.在三棱锥中，．若与面所成角最大值为，则的值为（）

A. B. C. D.

二、多选题（共18分）

9.若，则下列不等式中正确的是（）

A. B.

C. D.

10.已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则（）

A. B.

C. D.

11.设函数，已知在[0,2π]有且仅有4个零点，下述四个结论正确的是（）

A.在有且仅有3个极大值点

B.在有且仅有2个极小值点

C.取值范围是[,）

D.在上单调递增

三、填空题（共15分）

12.若关于的方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围是________.

13.在三棱锥中，底面是边长为2等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为______.

14.设函数的最大值为，最小值为，那么________

四、解答题（共77分）

15.某中学为增强学生环保意识，举办了“爱贵阳，护环境”的知识竞赛活动，为了解本次知识竞赛活动参赛学生的成绩，从中抽取了名学生的分数（得分取正整数，满分为100分，所有学生的得分都在区间中）作为样本进行统计，按照，，，，的分组作出如图甲所示的频率分布直方图，并作出如图乙的样本分数茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）.

（1）求样本容量和频率分布直方图中，的值；

（2）在选取的样本中，从竞赛成绩不低于80分的2组学生中按分层抽样抽取了5名学生，再从抽取的这5名学生中随机抽取2名学生到观山湖公园参加环保知识宣传活动，求抽到的2名学生成绩均在的概率（将样本频率视为概率）.

16.如图，在四棱锥中，底面，，，，，，是的中点.

(1)求证：平面；

(2)求三棱锥的体积；

(3)求二面角的余弦值．

17.某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠：每多一人，培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为人，每位员工的培训费为元，培训机构的利润为元.

（1）写出与之间的函数关系式；

（2）当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润.

18.在中，分别是所对的边，,，三角形的面积为，

（1）求的大小；

（2）求的值．

19.如图，一个角形海湾，（常数为锐角）.拟用长度为（为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：

图1图2

方案一：如图1，围成扇形养殖区，其中；

方案二：如图2，围成三角形养殖区，其中．

现给定数据如下：，

（1）求方案一中养殖区的面积；

（2）求方案二中养殖区的最大面积；

（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．

2024年下学期长沙市岳麓实验中学高二入学考试

数学

考试范围：必修部分；考试时间：120分钟，满分120分.

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题（共40分）

1.已知是虚数单位，则的虚部是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【分析】根据复数除法的运算法则和虚部的概念求解即可.

【详解】由题意得，，虚部为.

故选：C

2.对于①，②，③，④．⑤，⑥，则为第三象限角的充要条件为（）

A.①③ B.