第15练　抛物线的几何性质.docx

第15练抛物线的几何性质

一、选择题

1．抛物线y＝－x2的焦点坐标为()

A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))

答案B

解析∵抛物线y＝－x2，即x2＝－y，

∴焦点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4))).

2．抛物线y＝3x2的准线方程为()

A．x＝－eq\f(3,4) B．x＝－eq\f(1,12)

C．y＝－eq\f(3,4) D．y＝－eq\f(1,12)

答案D

解析抛物线y＝3x2的标准方程为x2＝eq\f(1,3)y，

所以抛物线的标准方程为y＝－eq\f(1,12).

3．已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为eq\f(π,3)的直线在第一象限交C于点A，若点A在l上的投影为点B，且AB＝4，则p等于()

A．1B．2C．2eq\r(2)D．4

答案B

解析如图，因为AB＝4，所以AF＝4，

过点A作x轴的垂线，垂足为C，

则∠AFC＝eq\f(π,3)，

则FC＝2，AC＝2eq\r(3)，

所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(p,2)，2\r(3)))，

因为点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(p,2)，2\r(3)))在抛物线上，

所以12＝2p×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(p,2)))，整理得，p2＋4p－12＝0，解得p＝2或p＝－6(舍去)．

4．已知某桥的拱顶可近似地看作抛物线x2＝－16y的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为()

A．6米B．2eq\r(33)米C．8eq\r(34)米D.eq\r(31)米

答案B

解析如图所示．

设鸽子所在位置为点P(x，y)(x0，y0)，

因为它到抛物线焦点的距离为10米，

所以|y|＋4＝10，解得y＝－6，

则x2＝－16×(－6)＝96，

所以鸽子到拱顶的最高点的距离为OP＝eq\r(x2＋y2)＝2eq\r(33).

5．(多选)若抛物线过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,4)))，则点A到此抛物线的焦点的距离可以是()

A.eq\f(65,64)B.eq\f(5,4)C.eq\f(9,4)D.eq\f(9,8)

答案AB

解析当抛物线的对称轴是x轴时，抛物线方程为y2＝eq\f(1,16)x，准线为x＝－eq\f(1,64)，

点A到此抛物线的焦点的距离为1＋eq\f(1,64)＝eq\f(65,64)；

当抛物线的对称轴是y轴时，抛物线方程为x2＝4y，准线为y＝－1，点A到此抛物线的焦点的距离为1＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).

二、填空题

6．抛物线y2＝4x的通径(过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦)的长为________．

答案4

解析由题意得，抛物线的焦点坐标为(1,0)，当x＝1时，y＝±2，

故抛物线y2＝4x的通径长为4.

7．已知抛物线C：y2＝mx的焦点是椭圆E：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦点，则抛物线C的准线方程是______________．

答案x＝2

解析∵椭圆E：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1，

∴c2＝a2－b2＝9－5＝4，即c＝2，

又∵抛物线C：y2＝mx的焦点是椭圆E：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦点，

∴抛物线C的焦点为(－2,0)，则抛物线C的准线方程为x＝2.

8．斜率为eq\r(3)的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB＝__________.

答案eq\f(16,3)

解析由题意得抛物线C：y2＝4x的焦点为(1,0)，则直线AB的方程为y＝eq\r(3)(x－1)，

联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)?x－1?，,y2＝4x，))消去y得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝eq\f(10,3)，

从而AB＝x1＋x2＋p＝eq\f(10,3)＋2＝e