《数学建模与数据学实验》课件第3章.ppt

3.5.4差分方程在经济学中的应用

【例3.7】（筹措教育经费模型）某家庭从现在着手从每月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育,并计划20年后开始从投资账户中每月支取1000元，直

到10年后子女大学毕业用完全部资金。要实现这个投资目标，20年内共要筹措多少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月利率为0.5%。解设第n个月投资账户资金为Sn元，每月存入资金为a元。于是，20年后关于Sn的差分方程模型为Sn+1=1.005Sn－1000，并且S120=0,S0=x。

解上式得通解：

以及3.4军事上的应用

战术谋略在战争中起着不可估量的作用。将领与士兵的区别，就是士兵执行命令去冲锋陷阵，而将领主要是根据当前形势制定最佳的作战方案。

随着数学的不断发展，特别是在决策论等方面的不断成熟，数学在战争中的应用意义越来越大。本节不对决策论方面的知识进行介绍，只运用微分方程的知识，定性甚至定量地分析军事上的一些相关问题，例如战争胜利与兵种和兵力的关系、军备竞赛对经济的影响等等。3.4.1军队作战模型

早在第一次世界大战期间，Lanchester已经提出了几个尚不成熟的作战模型。自此以后，人们不断地推广这些模型，并用它们分析了一些战争实例。本节将介绍三个Lanchester模型。

下面依次介绍这三个Lanchester战斗模型。假设一支部队x和一支部队y互相交战，其中x(t)和y(t)分别表示两个部队在t时刻的兵力。t以天为计算单位，从战斗开始时算起。不妨认为兵力x(t)和y(t)就是士兵的数量（实际战斗中，兵力一般还包括相应的军事装备），并且假定x(t)和y(t)是连续变化的关于时间t的可导函数。

对于部队x，由于各种不可避免的因素（包括疾病、逃兵以及其他非作战事故）所引起的兵力损失率，记为自然损失率Lx。

另一方面，部队x与部队y遭遇而产生的兵力战斗损失率，可以记为CLx，兵力补充率可以记为Rx，那么x(t)满足下面的微分方程：3.4.2模型求解

现在依次求解上述三个战斗模型（常规战争、游击战争和常规—游击战混合型）。

1.常规战争

为了简化问题，这里考虑双方都没有增援的情况，即F(t)=G(t)=0，并且假设自然损失率为零，那么常规战争模型简化为图3.7常规战胜负图解图3.8常规战双方兵力图图3.9游击战胜负图解图3.10混合战胜负图解但是，这仍不足以使美国常规部队在越南战场的状况有较大的改变。另一方面，越南部队也将会增加到31.4万人，比例仍保持为6∶1。正是基于这样的分析，以及美国人民对整个事态的焦虑，约翰逊总统才不得不从政治上寻求解决越南问题的办法。他最终拒绝了Westmoreland将军的要求，提倡并发起了巴黎和平会谈。最后，美国于1973年撤离战斗，越南取得了最后的胜利。3.5差分方程理论

3.5.1差分的概念3.5.2差分方程的概念

定义3.2含有未知函数yt的差分的方程称为差分方程。差分方程的一般形式为或差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶。差分方程的不同形式可以互相转化。定义3.3满足差分方程的函数称为该差分方程的解。如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称这个解为该差分方程的通解。

我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称为初始条件，满足初始条件的解称为特解。定义3.4若差分方程中所含未知函数及未知函数的

各阶差分均为一次的，则称该差分方程为线性差分方程。

线性差分方程的一般形式是3.5.3一阶常系数线性差分方程及其迭代解法

一阶常系数线性差分方程的一般形式为

yt+1+ayt=f(t)(3.54)其中常数a≠0，f(t)为t的已知函数，当f(t)不恒为零时，式(3.54)称为一阶非齐次差分方程；当f(t)≡0时，差分方程为

yt+1+ayt=0(3.55)称为与一阶非齐次线性差分方程对应的一阶齐次差分方程。

下面给出差分方程的迭代解法。记时刻t的人口为x(t)，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，x(t)是一