人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第5章 三角函数 5.4.2 第1课时 周期性、奇偶性.pptVIP

第五章5.4.2第1课时周期性、奇偶性

基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引学以致用·随堂检测全达标

学习目标1.理解周期函数、周期、最小正周期的定义.(数学抽象)2.会求正弦函数、余弦函数的周期,并会应用.(数学运算)3.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性.(数学运算)

基础落实·必备知识全过关

知识点一:函数的周期性1.周期函数条件①函数f(x)的定义域为D,如果存在一个常数T?②对每一个x∈D,都有x+T∈D,且=f(x)?结论函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期2.最小正周期条件如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的?结论这个最小叫做f(x)的最小正周期?非零f(x+T)正数正数

名师点睛1.对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内的每一个值时”,要特别注意“每一个值”的要求.如果只是对某些x有f(x+T)=f(x),那么T不一定是f(x)的周期.2.自变量x本身加的常数才是最小正周期,如f(2x+T)=f(2x)中T不是最小正周期,因为f(2x+T)=f(2(x+))=f(2x),所以才是最小正周期.3.周期函数的周期不唯一.若T是函数f(x)的最小正周期,则kT(k∈Z,k≠0)也是函数f(x)的周期.4.并不是所有的周期函数都存在最小正周期.例如,对于常数函数f(x)=c(c为常数,x∈R),所有非零实数T都是它的周期,而最小正数是不存在的,所以常数函数没有最小正周期.

微思考1周期函数的周期是否唯一??微思考2如何理解周期函数定义中“对定义域内的每一个值,都有f(x+T)=f(x)”?能举例说明吗?提示不唯一.若f(x+T)=f(x),则f(x+nT)=f(x),n∈Z,且n≠0.

知识点二:正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y=sinxy=cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π奇偶性奇函数偶函数

名师点睛函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的周期:(1)函数y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω0)的最小正周期(2)函数y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω0)的最小正周期

微思考记f(x)=sin(cosx);g(x)=cos(sinx).f(x)与g(x)是否为周期函数?它们的奇偶性是什么?提示因为f(x+2π)=sin(cos(x+2π))=sin(cosx)=f(x);g(x+π)=cos(sin(x+π))=cos(-sinx)=cos(sinx)=g(x),所以f(x)与g(x)均为周期函数.因为f(x)与g(x)的定义域均为R,且f(-x)=sin(cos(-x))=sin(cosx)=f(x),g(-x)=cos(sin(-x))=cos(-sinx)=cos(sinx)=g(x),所以f(x)与g(x)均为偶函数.

重难探究·能力素养全提升

问题1函数的性质一般有哪些?通过什么方法研究函数的性质?问题2从三角函数的图象分析,利用什么性质可以把三角函数的图象转化为某一区域的图象?

探究点一三角函数的周期问题及简单应用问题3如何理解三角函数的周期?如何求三角函数的最小正周期?有哪些基本方法?【例1】求下列三角函数的最小正周期:(1)y=3sinx,x∈R;解3sin(x+2π)=3sinx,由周期函数的定义知,y=3sinx的周期为2π.(2)y=cos2x,x∈R;解cos2(x+π)=cos(2x+2π)=cos2x,由周期函数的定义知,y=cos2x的周期为π.

(4)y=|cosx|,x∈R.解函数y=|cosx|的图象如图(实线部分)所示,由图象可知,y=|cosx|的周期为π.

规律方法求函数最小正周期的常用方法求三角函数的最小周期,一般有两种方法:(1)公式法,即先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,再利用求得;(2)图象法,利用变换的方法或作出函数的图象,通过观察得到最小正周期.

探究点二三角函数的奇偶性及其应用问题4一个周期内的正、余弦函数图象从整体上看具备奇偶性,可否通过此性质来简化研究?问题5如何判断函数的奇偶性?有哪些基本方法?

【例2】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|sinx|+cosx;解函数f(x)=|sinx|+cosx的定义域为R.∵f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sinx|+cosx=f(x),∴函数f(x)是偶函数.

规律方法1.判断函数奇偶性的常用方法:(1)定义法,即从f