关于积分上限函数特性的进一步研究.docx

?

?

关于积分上限函数特性的进一步研究

?

?

纪铭

摘要：本文通过例题解析的形式对高等数学中积分上限函数的函数特性（单调性、奇偶性等）进行分析和总结，希望加深学生对积分上限函数的理解和运用。

关键词：积分上限函数单调性奇偶性

积分上限函数是高等数学中一类具有特殊形式的函数，在证明原函数存在定理和牛顿—莱布尼兹公式定理中占有重要地位。同时积分上限函数的函数特性是可以像一般函数一样进行研究，如单调性、奇偶性、极值等。

1.知识准备

定理1如果函数在区间[a，b]上连续，则积分上限函数

在[a，b]上可导，并且它的导数

由这个定理可知，若符号确定，则可以确定的单调性以及极值问题；根据的奇偶性来确定的奇偶性等。

2.例题解析

例1设为上的连续奇函数，且单调增加，则是

（A）单调增加的奇函数（B）单调增加的偶函数

（C）单调减小的奇函数（D）单调减小的偶函数。

【分析】对被积函数作变量替换就有

由于为奇函数，故为偶函数，于是为奇函数；又因为偶函数，从而为奇函数。综上所述为奇函数。

在0与之间，无论还是由单调增加，都有应选C。

例2设试求：

（1）的极值；

（2）曲线的拐点的横坐标；

（3）

【解】（1）因此可知在处取极小值0，且无其他极值。

（2），，当且仅当时，且在两侧变号，即知为曲线的拐点的横坐标。

（3）

3.小结

积分上限函数是以一种新的定义方式出现的函数，在学习难度上较大，但归根结底，积分上限函数作为一般函数，它就自然会涉及关于有界性、单调性、奇偶性、周期性等基本特性的研究。本来只从两个角度单调性和奇偶性进行例题解析，后续会有一些更深入的研究。

參考文献：

[1]数学分析[M]华东师范大学数理系高等教育出版社2001

[2]数学辅导全书（数学一）[M]李正元李永乐范培华中国政法大学出版社2017

[3]高等数学[M]同济大学数学系高等教育出版社2014endprint

?

-全文完-