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试卷第=page11页,共=sectionpages33页
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上海市建平中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、填空题
1.设集合,则.
2.等比数列中,若,,则.
3.函数的定义域是.
4.已知向量,满足,则,的夹角为.
5.函数的部分图象如图所示,则f(x)=.
6.已知函数是上的奇函数,当时,,当时,的解析式为.
7.设a>0,b>0,若是与3b的等比中项,则的最小值是.
8.在ΔABC中,,,则ΔABC面积为.
9.若数列{an}的前n项和为Sn=an+,则数列{an}的通项公式是an=.
10.若、、均为平面单位向量,且,则的坐标为.
11.设直线系M:xcosθ+(y﹣2)sinθ=1(0≤θ≤2π),对于下列四个命题:
A.M中所有直线均经过一个定点
B.存在定点P不在M中的任一条直线上
C.对于任意整数n(n≥3),存在正n边形,其所有边均在M中的直线上
D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号).
12.函数满足对任意都成立,其值域是,已知对任何满足上述条件的都有,则的取值范围为.
二、单选题
13.“”是“”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.若是关于的实系数方程的一个复数根,则(????)
A. B.
C. D.
15.已知三角形中三边长为,,,若,,成等差数列,则直线与直线的位置关系为(????)
A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.重合
16.设是一个无穷数列的前项和,若一个数列满足对任意的正整数,不等式恒成立,则称数列为和谐数列.关于命题:①若等差数列为和谐数列,则一定存在最小值;②若的首项小于零,则一定存在公比为负数的一个等比数列为和谐数列.下列判断正确的是(????)
A.①和②都为真命题 B.①和②都为假命题
C.①为真命题,②为假命题 D.①为假命题,②为真命题
三、解答题
17.已知(为常数),且方程有两个实根为,.
(1)求函数f(x)
(2)当时,解关于的不等式:.
18.已知函数是偶函数.
(1)求实数的值;
(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
19.某公园有三个警卫室A、B、C,互相之间均有直道相连,千米,千米,千米,保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B,同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A,甲的速度为2千米/小时,乙的速度为1千米/小时.
(1)保安甲从C出发1.5小时后达点D,若,求实数x、y的值;
(2)若甲乙两人通过对讲机联系,对讲机在公园内的最大通话距离不超过3千米,试问有多长时间两人不能通话?(精确到0.01小时)
20.如图所示,将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中,已知,,点是三角板内一点,现因三角板中阴影部分受到损坏,要把损坏部分锯掉,可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成,设直线MN的斜率为k,问:
(1)求直线MN的方程;
(2)若的面积为,求的表达式;
(3)若S为的面积,问是否存在实数m,使得关于S的不等式有解,若存在,求m的取值范围;若不存在,说明理由.
21.已知数列和的通项公式分别为,(),将集合中的元素从小到大依次排列,构成数列.
⑴求;
⑵求证:在数列中、但不在数列中的项恰为;
⑶求数列的通项公式.
答案第=page11页,共=sectionpages22页
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参考答案:
题号
13
14
15
16
答案
A
D
D
A
1.
【分析】根据集合交集的概念与运算,即可求解.
【详解】由题意,集合,
根据集合交集的概念与运算,可得.
故答案为:.
2.
【分析】根据等比数列的通项公式可求得答案.
【详解】设等比数列的公比为,则,解得,即,所以,
故答案为:.
3.
【分析】根据二次根式的意义,被开方数大于等于零,结合正弦函数的图象及性质即可求解.
【详解】由题意知,,即,
因为正弦函数有,
所以,解得,
所以函数的定义域为.
故答案为:
【点睛】本题考查函数定义域的求解;属于基础题.函数定义域的求解一般从三个方面考虑:
当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;
当
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