人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第5章 三角函数 5.6 第1课时 函数y=Asin(ω+φ)的图象.pptVIP

第五章5.6第1课时函数y=Asin(ωx+φ)的图象

基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引学以致用·随堂检测全达标

学习单元6函数y=Asin(ωx+φ)由单位圆上的匀速圆周运动而引入的函数y=sinx,y=cosx,是刻画周期变化现象的基本数学模型.将单位圆上的运动进行扩展,便是一般的匀速圆周运动,其扩充点有圆的半径、起点位置、角速度等,刻画这些现象的数学模型就是函数y=Asin(ωx+φ),其中的A,ω,φ都有特定的实际意义.

根据特殊到一般的思想,本单元从函数y=sinx出发,探索A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响.结合学生已有的函数图象平移的经验,研究路径为“探索φ对y=sin(x+φ)图象的影响→探索ω(ω0)对y=sin(ωx+φ)图象的影响→探索A(A0)对y=Asin(ωx+φ)图象的影响”→函数y=Asin(ωx+φ)的性质→函数y=Asin(ωx+φ)的简单应用,这是学习本单元的知识明线,具体内容结构如下图所示:

本学习单元的最终目标是源于现实需要,研究掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象性质,利用这些结论来研究生活中更广泛的一些周期变化现象.在研究过程中,培养数学建模、数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养.

学习目标1.会用“五点法”画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象.(数学运算)2.能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.(数学抽象)3.掌握函数y=sinx与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系,能正确地指出其变换步骤.(逻辑推理)

基础落实·必备知识全过关

知识点:参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响1.φ对函数y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响2.ω(ω0)对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响左右|φ|缩短伸长

3.A(A0)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响伸长缩短

名师点睛由y=sinx的图象得到y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的图象的两种方法:

微思考三角函数先平移再伸缩与先伸缩再平移有什么不同?

重难探究·能力素养全提升

探究点一匀速圆周运动的数学模型问题1数学源于生活,现实生活中的匀速圆周运动,其数学模型即是正(余)弦型函数,如何理解现实数据的含义,求出数学模型的函数解析式?【例1】一个大风车的半径为6m,12min旋转一周,它的最低点P0离地面2m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数关系式是()D

规律方法匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式.此类问题的切入点是初始位置及其半径、频率的值要明确,半径决定了振幅A,频率或周期能确定ω,初始位置不同对φ有影响.还要注意最大值与最小值与函数中参数的关系.

探究点二用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象问题2我们能用“五点法”快速作出正弦函数y=sinx的图象,可否与之类比,快速画出正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象?问题3若能画出,取哪5个点?体现数学的什么眼光?

解列表如下:描点连线(如图所示).

规律方法1.“五点法”作图的实质利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,实质是利用函数的三个零点及两个最值点画出函数在一个周期内的图象.2.用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)图象的步骤第一步:列表.第二步:在同一平面直角坐标系中描出各点.第三步:用光滑曲线连接这些点,得到图象.

探究点三函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换问题4由函数y=sinx变换到y=Asin(ωx+φ)过程中,图象发生了怎样的几何变换?这些几何变换与参数φ,ω,A之间有怎样的对应关系?问题5图象的平移伸缩,本质上是图象上点的平移伸缩.据此,解析式变换应做怎样的运算,才可与几何变换的本质对应?

【例3】已知函数,该函数的图象可由y=sinx,x∈R的图象经过怎样的变换得到?

规律方法1.对函数y=Asin(ωx+φ)+k(A0,ω0,φ≠0,k≠0),其图象的基本变换有:(1)振幅变换(纵向伸缩变换):是由A的变化引起的,A1时伸长,A1时缩短.(2)周期变换(横向伸缩变换):是由ω的变化引起的,ω1时缩短,ω1时伸长.(3)相位变换(横向平移变换):是由φ引起的,φ0时左移,φ0时右移.(4)上下平移(纵向平移变换):是由k引起的,k0时上移,k0时下移.可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换.

3.由y=Asin(ωx+φ)+k(A0,ω0,φ≠0,k≠0)的图象得到y=