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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结(新高考通用)
第06讲函数的单调性与最值(精讲)
①函数单调性的判断与证明
②求函数的单调区间
③复合函数的单调性
④函数单调性的应用(求参数、解不等式、比较大小)
⑤求函数的最值(值域)
一、必备知识整合
一、必备知识整合
1.函数的单调性
(1)增函数:若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、,当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数;
(2)减函数:若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、,当时,都有
,那么就说函数在区间上是减函数.
(3)【特别提醒】
①单调区间只能用区间表示,不能用不等式或集合表示.
②有多个单调区间应分别写,不能用符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“逗号”或“和”连接.
2.函数的最值
(1)最大值:一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:
=1\*GB3①对于任意的,都有;=2\*GB3②存在,使得.
那么,我们称是函数的最大值.
(2)最小值:一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:
=1\*GB3①对于任意的,都有;=2\*GB3②存在,使得.
那么,我们称是函数的最小值.
(3)函数最值存在的两个结论
①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.②开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.
1.?x1,x2∈D(x1≠x2),?f(x)在D上是增函数;?f(x)在D上是减函数.
2.对勾函数y=(a>0)的增区间为(-∞,-]和[,+∞),减区间为[-,0)和(0,].
3.当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)是增(减)函数.
4.若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性相反.
5.函数y=f(x)在公共定义域内与y=的单调性相反.
6.复合函数y=f[g(x)]的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性关系是“同增异减”.
二、考点分类精讲
二、考点分类精讲
【题型一函数单调性的判断与证明】
1.定义法证明函数单调性的步骤
2.判断函数单调性的四种方法
(1)图象法;(2)性质法;(3)导数法;(4)定义法.
3.证明函数单调性的两种方法
(1)定义法;(2)导数法.
【典例1】(23-24高一上·陕西汉中·期中)已知函数.
(1)试判断函数在区间上的单调性,并证明;
(2)求函数在区间上的值城.
【答案】(1)在区间上单调递增,证明见解析
(2).
【分析】(1)利用定义法证明单调性即可;
(2)由函数的单调性求值域即可.
【详解】(1)易知,
设,且,
则,
又由,则,,,
所以,即在区间上单调递增;
(2)由上可知函数在区间上单调递增,则,
又,
故的值域为.
一、单选题
1.(23-24高三上·上海杨浦·期中)已知函数,.若成立,则下列论断中正确的是(????)
A.函数在上一定是增函数;
B.函数在上一定不是增函数;
C.函数在上可能是减函数;
D.函数在上不可能是减函数.
【答案】D
【分析】根据函数单调性的定义判断即可.
【详解】因为函数,且成立,
则函数在上不可能是减函数,可能是增函数,也可能不是增函数,
如,满足,但是在上不具有单调性,
故D正确,A、B、C错误.
故选:D
2.(2024·陕西榆林·一模)已知函数在上单调递增,则对实数,“”是“”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由函数的单调性以及充分条件和必要条件的定义即可判定出结果
【详解】因为函数在上单调递增,且,
由增函数的定义可知,当时,有,
充分性成立;当时,若,由函数定义可知矛盾,
若,由函数单调性的定义可知矛盾,则,必要性成立.
即对实数,“”是“”的充要条件.
故选:C
二、解答题
3.(23-24高三上·新疆阿克苏·阶段练习)已知函数,
(1)求该函数的定义域;
(2)证明该函数在上单调递减;
(3)求该函数在上的最大值和最小值.
【答案】(1).
(2)证明见解析
(3)最大值为,最小值为.
【分析】(1)由解析式中分母不为0即可求出结果;
(2)利用单调性的定义直接证明即可;
(3)根据函数单调性可直接求解;
【详解】(1)由于,所以,所以,
即函数的定义域为.
(2)证明:任取,,,且,
则,
因为,,,且,所以,,,
所以,即,
所以函数在,上单调递减.
(3)由(2)知函数在,上单调递减,
所以函数在,上的最大值为,最小值为.
4.(23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习)已知函数过点.
(1)判断在区间上的单调性,并用定义证明;
(2)求函数在上的最大值和最小值.
【答案】(1)在区间上单调递增,证明见解析
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