浅谈圆的切线证明方法.docx

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浅谈圆的切线证明方法

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【摘要】在初中数学教学当中，圆的切线是非常重要的组成部分。一般在数学证明题中，普遍会涉及到圆的切线问题。而学生想要掌握好这部分的知识点，就需掌握缘切线的本质，为此便可延展出了多类证明法。那么接下来，我们就通过几种例题，来具体的讨论一下圆的切线证明方法。

【关键词】圆；切线；证明方法

在有关“圆”的初中数学知识当中，切线证明尤为关键，但也是教学中的难点。为此我们通过多年的教学经验，总结出了几种圆的切线证明方法。

一证明垂直的方法

通过“两角互余”证明

圆外直线与过圆心的线段一般会存在两个角，若能够证明两者之间互余，就可证明圆外直线是圆的切线。而若想证明互余，就要把其中一个角通过等量代换转换到其他三角形的等角。

通过“三线合一”证明

“三线合一”是利用等腰三角形和等边三角形。主要是先证明三角形为等腰或者等边三角形，然后再找到切点是三角形底边的中点就可以。这样一来，便能够把本是证明垂直的题目，转换成证明等腰、等边三角形以及中点的题目。不过要给出“切点为一边的中点”这个条件。

通过“勾股定理的逆定理”证明

和两角互余相同，供股定理的逆定理也能够证明垂直，不过该证明法需要学生具备一定的运算水平。方法是把圆外直线、过圆心的直线所形成的三角形边长，以代数法进行呈现，紧接着通过a2+b2=c2，去证明直角三角形，最后以指出直角的方式证明垂直。

通过“圆周角定理”证明

圆周角定理需要和两角互余相结合，原因在于后者要把其中一个角通过等量代换的方式转化到其他的三角形的等角，而此三角形就是和圆周角相关的直角三角形。按照圆周角定理，直径对应的圆周角为直角，因此发现圆的直径，便可发现有关的直角三角形。同时，还要通过“平行”法去证明垂直，通过“相似”去证明垂直，通过“全等”去证明垂直。而无论哪种方法，均是把其中一个角通过等量代换的方式转换到其他的三角形的等角。

（五）通过“k1·k2”证明

该方法主要是把图形置于平面直角坐标系里，将有关的线段转化成直线，同时采用相应的解析式，紧接着利用k值关系k1·k2证明直线间的垂直。此证明法需要学生具备一定的转化能力以及数形结合思维，为此很少有学生会想到利用该方法。

二例题

（一）见半径，证垂直

此类证明题并不常见，通常是以选择题为主。主要是先呈现出圆的半径或直径，然后直接证明垂直，不用辅助线。

例题1：入图一和图二所示，A，B为⊙O的直径，P属于⊙O外一点，同时OP//BC，∠P=∠BAC，求证：PA是⊙O的切线。

证明：如图二所示，设AC和OP交汇在点H。

因AB为直径，可知∠1=90°，又OP//，所以∠2=∠1=90°，所以∠4+∠5=90°。

因为∠P=∠BAC，得∠3=∠4，所以∠3+∠5=90°。

在△OAP中，∠OAP=90°，所以PA是⊙O的切线。

（图一，图二）

总结：该证明法因以掌握了直径，为此不用作辅助线，即可证明∠OAP=90°，同时，在对∠OAP=90°进行证明时，平行证明法、互余证明法和圆周角定理证明法各应用了一次

（二）连半径，证垂直

例2：如图三所示，以Rt△ABC的直角边为直径⊙O作交斜边AC于点D，经圆心作OE//AC，交BC于点E，和DE衔接，分析DE和⊙O的位置关系，同时讲出理由。

解：证明DE为O圆的切线（如图四所示）。

和OD衔接。

因OE//AC，所以∠1=∠3，∠2=∠4。

因OA//OD，得∠1=∠A，所以∠2=∠3。

因△BOE、△DOE中，OB=OD，∠2=∠3，OE=OE，所以△BOE△DOE，所以∠ODE=∠OBE=90°。

所以OD⊥DE，所以DE为圆O的切线。

（图三，图四）

总结：该例题并没有多大的难度，不过却包含了和平行、全等三角形、等腰三角形、圆的切线有关的知识。所以学生需要较强的数学基础。解答此题的重要环节是证明∠ODE。而在证明时，是以证明全等为主。从而可知，全等三角形同样能够证明直角。可在圆的切线证明中加以利用。

例3：如图五所示，P为⊙O外一点，PO交圆与点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB是120°，和PB衔接，求证：PB为⊙O的切线。

证明：因△OBC为等边三角形，所以BC=OC，同时因OC=CP，所以BC=CP，所以∠CBP=∠P，由因∠OBC=∠OCB=60°，所以∠CBP=30°。

∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，所以OB⊥BP，同时因点B位于⊙O上，所以PB为⊙O的切线。

（图五）

总结：该例题主要是通过“两角互余”证明垂直，没有多大的难度，不过重要的是怎样证明∠OBC=60°以及∠CBP=30°。根据解题的整个经过可了解到，通过证明等边三角形可证明∠OBC=60°，通过证明等腰三角形可证明∠CBP=30