人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第四章 4.4.3 不同函数增长的差异.ppt

;;内容索引;基础落实?必备知识全过关;知识点三种常见函数模型的增长速度比较;名师点睛

1.对数函数y=logbx(b1)在区间(0,+∞)上,随着x的增长,增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与x轴平行一样,尽管在x的一定变化范围内,logbx可能会大于xc,但是由于logbx的增长慢于xc的增长,因此总存在一个x0,当xx0时就会有logbxxc.

2.对于指数函数y=ax(a1)和幂函数y=xc(x0,c0),在区间(0,+∞)上,无论c比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,ax会小于xc,但由于ax的增长快于xc的增长,因此总存在一个x0,当xx0时,就会有axxc.

3.当底数a1时,由于指数函数y=ax的值增长非常快,称这种现象为“指数爆炸”.;过关自诊

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)当x每增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数.()

(2)函数y=log2x增长的速度越来越慢.()

(3)不存在一个实数m,使得当xm时,1.1xx100.();重难探究?能力素养全提升;;答案(1)A(2)y2;规律方法常见的函数模型及增长特点

(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.

(2)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a0,b1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.

(3)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m0,x0,a1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.

(4)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定.;变式训练1

下列函数中,随x的增大函数值增长速度最快的是();;解(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知:C1对应函数g(x)=x3,C2对应函数f(x)=2x.

(2)依题意知x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值.当xx1时,2xx3,即f(x)g(x);

当x1xx2时,f(x)g(x);

当xx2时,f(x)g(x).

因为f(1)=2,g(1)=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,

所以x1∈[1,2],即a=1.

又因为f(8)=28=256,g(8)=83=512,;f(8)g(8),f(9)=29=512,

g(9)=93=729,f(9)g(9),

f(10)=210=1024,g(10)=103=1000,f(10)g(10),所以x2∈[9,10],即b=9.

综上可知,a=1,b=9.;规律方法比较函数增长快慢的方法:(1)利用指数函数、幂函数、对数函数的不同的增长特点比较函数增长的快慢;(2)借助函数图象,通过图象特点以及变化趋势来比较函数的增长快慢;(3)通过计算相同区间上函数值的增量的大小来比较函数增长的快慢.;变式探究

在例2的条件下,结合函数图象,判断f(8),g(8),f(2020),g(2020)的大小.;;答案B

解析本题考查指对幂增长差异的实际应用.当h=H时,体积是V0,故排除A,C项.h由0到H变化的过程中,V的变化刚开始时增长速度越来越快,类似于指数型函数的图象,后来增长速度越来越慢,类似于对数型函数的图象,综合分析可知选B项.;规律方法函数增长快慢对函数曲线的影响

随着自变量的增大,如果函数值增长得越来越快,则函数的图象越“陡”,类似于指数函数的图象;如果函数值增长得越来越慢,则函数的图象越“缓”,类似于对数函数的图象.;变式训练2

如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经过3min漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量,H是圆锥形漏斗中液面下落的高度,则H与下落时间t(单位:min)的函数关系表示的图象只可能是();答案B

解析由题可知液体漏入桶中的速度是常量,即圆锥体中减少的液体体积与时间成正比,故H下降的速度是逐渐加快.在H-t图中,图象在某点的斜率表示该点的速度,只有B项斜率增大,因此B项正确.;角度2函数模型的选择与应用

【例4】某化工厂开发研制了一种新产品,在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量,需要以这三个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均为待定系数,x∈N*)或指数型函数y=g(x)=pqx+r(p,q,r均为待定