初中九年级数学纯函数性质的计算与证明压轴专项答案版.docxVIP

初中九年级数学纯函数性质的计算与证明压轴专项

第一部分：夯实基础

一、解答题

1．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，点，点都在该函数图象上．

(1)若时，求该二次函数的顶点坐标．

(2)若时，求a的值．

(3)求的最小值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】本题考查了二次函数的图象性质，顶点坐标，最值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．

（1）把代入，得，结合对称轴性质，把代入，即可作答．

（2）分别得出，再代入，进行计算化简，即可作答．

（3）因为，所以，根据二次函数的图象性质进行作答即可

【详解】（1）解：依题意，把代入

得出

则对称轴，

把代入，

得出，

∴该二次函数的顶点坐标为；

（2）解：∵二次函数，点，点都在该函数图象上

∴，

，

∵，

∴，

则，

解得；

（3）解：由（2）知，

∴，

∵，

∴该函数的开口向上，

∴该函数的对称轴为，

则把代入，

得出，

∴的最小值为．

2．（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线．

(1)①____________（用含a的式子表示）；

②当时，求该抛物线与x轴的公共点的坐标；

(2)已知点，，在该抛物线上，若，比较，，的大小，并说明理由．

【答案】(1)①；②；

(2)，理由见解析．

【分析】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开口方向、对称性以及增减性，熟知二次函数的基本性质是解决函数问题的关键．

（1）①根据二次函数的对称轴公式求解即可；

②首先根据求出，然后得到抛物线解析式为，然后令求解即可；

（2）根据二次函数的图象和性质求解即可．

【详解】（1）①对称轴为直线；

②∵，

∴，

∴，

∴抛物线解析式为，

∴令，得，

解得，

∴抛物线与x轴的公共点的坐标为．

（2）∵，

∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．

∵，

∴，

∵，

∴，

∵关于的对称点为，

∴，

∴，

∴．

3．（2024·云南曲靖·一模）已知关于x的一元二次方程．

(1)求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；

(2)若，点与在抛物线上（点P、Q不重合），求代数式的值．

【答案】(1)见解析

(2)16

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次函数图象的性质：

（1）求出即可证明结论；

（2）先求出抛物线解析式为，则对称轴为直线，由题可知，P，Q关于对称，则可得，据此把代入所求式子中求解即可．

【详解】（1）证明：由题意可得：

，

∴无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；

（2）解：当时，抛物线为

∴对称轴为直线，

由题可知，P，Q关于对称，

∴，即．

∴．

4．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．

(1)求该抛物线的对称轴；

(2)已知，当，y的取值范围是，求a，m的值．

【答案】(1)直线

(2)，

【分析】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式：

（1）：把代入中得，再根据对称轴计算公式求解即可；

（2）根据题意可得，再由抛物线开口向上，得到离对称轴越远函数值越大，则当时，，当时，，据此求解即可．

【详解】（1）解：把代入中得：，

∴，

∴抛物线对称轴为直线；

（2）解：∵，

∴，

∴

∵，

∴抛物线开口向上，

∴离对称轴越远函数值越大，

∵当，y的取值范围是，

∴当时，，当时，，

∴，

∴，

∴抛物线解析式为，

∴，

解得或（舍去）．

5．（2024·浙江杭州·模拟预测）顶点为D的二次函数满足以下三个条件的任意两个：

①其与轴的交点为；

②其与x轴的交点为和；

③该函数其最大值为12

(1)从以上条件任选两个，求出函数的表达式；

(2)若存在直线，二次函数上的存在一个点A，使得等于A到直线的距离，求出A点的坐标．

【答案】(1)

(2)或．

【分析】本题考查的重点是利用待定系数法求函数的解析式，熟练掌握点和直线，两点间距离公式．

（1）选择任意两个条件用待定系数法，就可以求出函数的表达式；

（2）根据函数的表达式，计算出点D的坐标，利用点和直线，两点间距离公式就可以计算出点A的坐标．

【详解】（1）解：选择条件①和②，

∵二次函数与y轴的交点为

∴，

∵二次函数与x轴的交点为和；

∴将点和代入函数，

∴，

∴函数的表达式

答：函数的表达式为：；

（2）解：设点A的坐标为，

∵点D为函数的顶点，

则对称轴，

把代入，得，

∴点D的坐标为，

∵直线，

∴点A到直线的距离，

∴，

设

∵A到直线的距离等于，

∴

∴，

∴或，

把代入，得

∴点，或

答：点A的坐标为：或．

6．（2024·浙江宁波·模拟预测）设二次函数(a是常数，)．

(1)若，求该函数图象的顶点坐标．

(2)若该二次函数图象经过，，三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．

(3)若二次函数图象经过