人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第5章 三角函数 5.4.2 第1课时 周期性、奇偶性 (2).pptVIP

;;基础落实·必备知识一遍过;;;名师点睛

1.对周期函数与周期定义中的“对每一个x∈D”,要特别注意“每一个”的要求.如果只是对某些x有f(x+T)=f(x),那么T不一定是f(x)的周期.

2.自变量x本身加的常数才是函数的周期,如f(2x+T)=f(2x)中T不是函数的;自主诊断

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)所有的函数都有最小正周期.();;思考辨析

函数y=Asin(-2x)(A≠0)的奇偶性是怎样的?;自主诊断

1.[2024山东滨州高一期中]下列函数为奇函数的是()

A.y=sinx-1 B.y=|sinx|

C.y=3cosx+1 D.y=-sinx;解析由题意,选项中函数的定义域为R,关于原点对称.

对于A中,函数f(x)=sinx-1,则f(-x)=sin(-x)-1=-sinx-1≠-f(x),

所以函数y=sinx-1既不是奇函数,也不是偶函数,不符合题意;

对于B中,函数f(-x)=|sin(-x)|=|sinx|=f(x),

所以函数y=|sinx|为偶函数,不符合题意;

对于C中,函数f(-x)=3cos(-x)+1=3cosx+1=f(x),

所以函数y=3cosx+1为偶函数,不符合题意;

对于D中,函数f(-x)=-sin(-x)=sinx=-f(x).

又y=-sinx的定义域为R,所以函数y=-sinx是奇函数,符合题意.故选D.;C;3.下列四个函数中,图象关于y轴对称的是();;;(4)y=|cosx|,x∈R.;规律方法求三角函数的最小正周期的常用方法

求三角函数的最小正周期,一般有两种方法:(1)公式法,即先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B(其中A,ω,φ,B均为常数,A≠0,ω0)的形式,再利用T=求得;(2)图象法,即作出函数的图象,通过观察得到最小正周期.;变式训练1求下列函数的最小正周期:;(3)y=|sinx|.;;解函数应满足1+sinx≠0,;规律方法判断函数奇偶性的常用方法:;变式训练2(1)[2024河北唐山高一期末]函数f(x)=sinx,g(x)=cosx,则下列结论正确的是()

A.f(x)g(x)是偶函数

B.|f(x)|g(x)是奇函数

C.f(x)|g(x)|是奇函数

D.|f(x)g(x)|是奇函数;解析因为f(x)g(x)=sinxcosx的定义域为R,且f(-x)g(-x)=sin(-x)cos(-x)=

-sinxcosx=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A错误;

因为|f(x)|g(x)=|sinx|cosx的定义域为R,且|f(-x)|g(-x)=|sin(-x)|cos(-x)=

|sinx|cosx=f(x)g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;

因为f(x)|g(x)|=sinx|cosx|的定义域为R,且f(-x)|g(-x)|=sin(-x)|cos(-x)|=

-sinx|cosx|=-f(x)g(x),所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;

因为|f(x)g(x)|=|sinxcosx|的定义域为R,且|f(-x)·g(-x)|=|sin(-x)cos(-x)|=

|sinxcosx|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C.;(2)判断下列函数的奇偶性:

①f(x)=xcos(π+x);;解由1-cosx≥0且cosx-1≥0,得cosx=1,从而x=2kπ,k∈Z,此时f(x)=0,

故该函数既是奇函数又是偶函数.;;D;变式探究1若将例3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,求

的值.;规律方法当函数值的出现具有一定的周期性时,可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况,再予以推广求值.;变式训练3设f(x)是周期为2的奇函数,当0x1时,f(x)=sinx+x,则1x2时,f(x)=.?;;1;1;1;1;1;