人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第5章 三角函数 5.1.1 任意角 (2).pptVIP

;;基础落实·必备知识一遍过;;;3.相等角与角的加减

(1)相等角:设角α由射线OA绕端点O旋转而成,角β由射线OA绕端点O旋转而成.如果它们的旋转方向且旋转量,那么就称α=β.

(2)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为.?

(3)设α,β是任意两个角.我们规定,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是α+β.

β0时,旋转量为β,按逆时针方向旋转;

β0时,旋转量为|β|,按顺时针方向旋转;名师点睛

角的概念推广后,角的大小可以任意取值.把角放在直角坐标系中进行研究,对于一个给定的角,都有唯一的一条终边与之对应,并使得角具有代数和几何双重意义.

思考辨析

始边与终边重合的角一定是零角吗?;自主诊断

1.[2024北京高一阶段练习]钟表的分针在一个半小时内转了()

A.180° B.-180°

C.540° D.-540°;2.[人教B版教材习题]求下列各式的值,并作图说明运算的几何意义.

(1)90°+(-60°);

(2)60°-180°;

(3)-60°+270°.;;名师点睛

对于集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的理解应注意三点:

(1)α是任意角.

(2)“k∈Z”有三层含义.

①特殊性,每取一个整数值就对应一个具体的角.

②一般性,表示所有与角α终边相同的角(包括α自身).

③从几何意义上看,k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数,k取正整数时,逆时针旋转;k取负整数时,顺时针旋转;k=0时,没有旋转.

(3)集合中“k·360°”与“α”之间用“+”连接,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),表示与-30°的角终边相同的角.;思考辨析

相等的角终边相同吗?反过来,终边相同的角相等吗?;自主诊断

1.与-30°角终边相同的角是()

A.-330° B.150°

C.30° D.330°;2.[人教B版教材习题改编]在平面直角坐标系中作下列各角的终边,指出角的终边所在的象限,并写出一个和它终边相同的角.

(1)855°;(2)-750°.;;;解析对于①,-60°角是小于90°的角,但不是锐角,所以①错误;

对于②,480°角是第二象限角,但不是钝角,所以②错误;

对于③,480°角和120°角终边相同,但不相等,所以③错误;

对于④,在平面直角坐标系中,角的顶点是坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,所以若角相等,则终边一定重合,所以④正确,

所以正确的个数是1.故选A.;规律方法理解与角的概念有关问题的关键

正确理解象限角、锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.;变式训练1(1)经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是()

A.60°,720° B.-60°,-720°

C.-30°,-360° D.-60°,720°;(2)给出下列四个命题:①-75°是第四象限角;②225°是第三象限角;

③475°是第二象限角;④-315°是第一象限角.其中真命题有()

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个;;变式探究写出在-720°~0°范围内与650°终边相同的角.;规律方法求与已知角α终边相同的角时,要先将这样的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后采用赋值法求解或通过解不等式确定k的值,求出满足条件的角.;角度2.终边在某条直线上的角的集合

【例2—2】写出终边在如图所示的直线上的角的集合.;(2)在0°~360°范围内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135°和315°,

因此,终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}

={β|β=135°+n·180°,n∈Z}.

(3)终边在直线y=x上的角的集合为{β|β=45°+k·180°,k∈Z},

由(2)可知终边在直线y=-x上的角的集合为{β|β=135°+k·180°,k∈Z},

故所求角的集合为S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+k·180°,k∈Z}

={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·90°,k∈Z}

={β|β=45°+n·90°,n∈Z}.;规律方法终边落在特定位置上的角的集合

终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{β|β=k·360°,k∈Z};

终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为{β|β=k·360°+180°,k∈Z};

终边落在x轴上的角的集合为{β|β=k·180°,k∈Z};

终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为{β|β=k·360°+90°,k∈Z};

终边落在y轴的非正半轴