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CHAPTER数学基础第一章

2第一章数学基础本章内容1.1矢量函数1.2标量场的方向导数与梯度1.3矢量场的通量与散度1.4矢量场的环量与旋度1.5哈密顿算子与矢量恒等式1.6亥姆霍兹定理1.7知识点拓展

31.1矢量函数标量:只有大小，在取定其单位后可以用一个数来表示，例如长度、质量、时间、能量等矢量:不仅有大小之分，而且有方向之别，例如位移、力、速度、电场强度、磁场强度等1.1.1标量与矢量

41.1矢量函数直角坐标系圆柱坐标系球坐标系1.1.2矢量的表示

51.1矢量函数直角坐标系中圆柱坐标系中球坐标系中

61.1矢量函数矢径单位矢径距离矢量线元矢量

71.1矢量函数1.矢量的加减运算平行四边形法则三角形法则矢量求差1.1.3矢量的基本代数运算

81.1矢量函数2.矢量的乘法运算标乘点乘叉乘混合积

91.1矢量函数3.混合积与三重矢积混合积满足轮换性质若混合积为0，则三矢量共面！三重矢积

101.1矢量函数1.矢量函数的定义对于定义域中每一个自变量都有相应的矢量函数A的某个确定量（大小和方向都确定的一个矢量）和它对应，则矢量A称为该自变量的矢量函数。例如静电场中，对于自由空间中位于坐标原点的点电荷，在其周围空间产生的电场可以表示为：1.1.4矢量函数的微分与积分

111.1矢量函数2.矢量函数的微分定义圆柱坐标系和球坐标系中???

121.1矢量函数3.矢量函数的积分积分和微分互为逆运算。一般标量函数积分的运算法则对矢量函数同样适用。圆柱坐标系和球坐标系中???

131.1矢量函数【例题1-1】求在0→2π区间对f的定积分。其中a为常数。解：【例题1-2】求在球面上的面积分。将代入上式，即有：解：

141.1矢量函数1.1.5场论1.场的概念在一个空间区域中，某物理量的分布可以用一个空间位置和时间的函数来描述。若某个物理量在某区域中每一点处、在每一时刻都有确定值，则在该区域中就存在该物理量的场，该物理量称为场量。概括来讲，场是表征空间区域中各点物理量的时空分布函数。物理量可能是一个标量或矢量，因而，场也可能是一个标量场或矢量场。根据场所表示的物理量随时间变化的情况，可分为静态场和时变场。注意！场的性质是它自己的属性，和坐标系的引进无关

151.1矢量函数2.标量场如果所研究的量是标量，则物理量的空间分布对应于标量场，即每一时刻、每一位置都对应一个标量值，如温度场、密度场、气压场和电位场。若自变量是坐标(x,y,z)和时间t，则静态标量场记为u=u(x,y,z)，时变标量场记为u=u(x,y,z,t)。3.矢量场如果所研究的量是矢量，则物理量的空间分布对应于矢量场，即每一时刻、每一位置都对应一个矢量值，如速度场、加速度场、重力场、电场和磁场。若自变量是坐标(x,y,z)和时间t，则静态矢量场记为A=A(x,y,z)，时变矢量场记为A=A(x,y,z,t)

161.2标量场的梯度如等温面、等电位面等对空间任意点：1.2.1标量场的等值面和等值线1.2.2方向导数

171.2标量场的梯度

181.2标量场的梯度方向导数方向单位矢量定义1.2.3梯度1.梯度(gradient)的定义

191.2标量场的梯度Hamilton算子图1.2.3梯度的定义

201.2标量场的梯度2.梯度的性质

211.2标量场的梯度3.梯度的基本运算公式（C为常数）（C为常数）

221.2标量场的梯度4.梯度在圆柱坐标系和球坐标系中的计算式圆柱坐标系中的梯度计算式：球坐标系中的梯度计算式：

231.2标量场的梯度得证

241.2标量场的梯度

251.2标量场的梯度

261.3矢量场的通量与散度1.3.1矢量场的矢量线（力线）矢量场中的一些曲线，曲线上每一点的切线方向代表该点矢量场的方向，该点矢量场的强度由附近矢量线的密度来确定。F的矢量线微分方程

271.3矢量场的通量与散度1.3.2矢量场的通量

281.3矢量场的通量与散度

291.3矢量场的通量与散度1.3.3散度若在某一区域内的所有点上，矢量场的散度都等于0，则称该区域内的矢量场为无源场。1.散度(divergence)定义

301.3矢量场的通量与散度2.散度的表达式直角坐标系中圆柱坐标系中球坐标系中

311.3矢量场的通量与散度3.散度的基本公式

321.3矢量场的通量与散度1.3.4高斯散度定理

331.3矢量场的通量与散度

341.3矢量场的通量与散度

351.4矢量场的环量与旋度1.4.1矢量的环量1.4.2矢量的旋度1.旋