人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第3章 函数的概念与性质 3.2.1 第2课时 函数的最大(小)值 (2).pptVIP

;;基础落实·必备知识一遍过;;;思考辨析

若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗?;自主诊断

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)一个函数可能有多个最小值.()

(2)f(x)=在其定义域内无最大值,无最小值.()

(3)若函数f(x)在其定义域内有最大值和最小值,则最大值一定大于其最小值.()

(4)若函数有最值,则最值一定是其值域中的一个元素.()

2.f(x)=2x2+4x+1的值域为.?;3.函数f(x)=-3x2+2在区间[-1,2]上的最大值为.?;;;画出f(x)在x∈[-1,3]内图象(图略).

可知f(x)在[-1,0],[1,2]上单调递减,在(0,1),(2,3]上单调递增,

当x=-1或3时,f(x)=|x2-2x|取得最大值3,

当x=0或2时,f(x)=|x2-2x|取得最小值0.;★★【例1—2】规定max{a,b}表示取a,b中的较大者,例如max{0.1,-2}=

0.1,max{2,2}=2,则函数f(x)=max{|x2-4|,|x+1|}的最小值为.?;规律方法图象法求最值的基本步骤;变式训练1★★(1)[2024黑龙江齐齐哈尔高一开学考试]已知函数f(x)=

2x2-1,g(x)=ax,x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者,记为M(x)=max{f(x),g(x)},若M(x)的最小值为-,则实数a的值为()

A.0 B.±1

C.± D.±2;解析依题意,若a0,先作两个函数f(x)=2x2-1,g(x)=ax,x∈R的大致图象,

因为M(x)=max{f(x),g(x)},故草图如下,;①画出f(x)的图象;

②根据图象写出该函数的最大值和最小值.;;解(1)?x1,x2∈[1,2],且x1x2,;变式探究例2已知条件不变,判断f(x)在区间[1,3]上的单调性,并求f(x)在区间[1,3]上的最值.;规律方法1.利用单调性求函数最值的一般步骤:

(1)判断函数的单调性;

(2)利用单调性写出最值.

2.函数的最值与单调性的关系:

(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).

(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间(b,c]上单调递减(增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.;;解f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,

根据二次函数的性质,f(x)在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增.

(1)f(x)在[0,1]上单调递减,

f(x)max=f(0)=3;f(x)min=f(1)=0.

(2)当x∈[0,4]时,f(x)在[0,2]上单调递减,在[2,4]上单调递增,

f(x)max=f(0)=f(4)=3;f(x)min=f(2)=-1.

(3)当x∈[0,5]时,f(x)在[0,2]上单调递减,在[2,5]上单调递增,

f(0)=3,f(x)max=f(5)=8;f(x)min=f(2)=-1.

(4)f(x)在[4,5]上单调递增,f(x)max=f(5)=8;f(x)min=f(4)=3.;变式训练2已知二次函数f(x)=x2-4x+3,非空集合A={x|0≤x≤a}.当x∈A时,二次函数的最小值为-1,求实数a的取值范围.;★★【例3—2】[2024宁夏银川高一校考期末]设函数f(x)=x2-2ax+3.

(1)当a=1时,求函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值;

(2)设函数f(x)在区间[-2,3]上的最小值为g(a),求g(a).;解(1)当a=1时,f(x)=x2-2x+3,其图象的对称轴为直线x=1,

故函数f(x)在[-2,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增,

又f(1)=1-2+3=2,f(-2)=(-2)2-2×(-2)+3=11,f(3)=32-2×3+3=6,

故函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值为11,最小值为2.

(2)函数f(x)=x2-2ax+3图象的对称轴为直线x=a,

当a≤-2时,g(a)=f(-2)=4+4a+3=4a+7,

当-2a3时,g(a)=f(a)=a2-2a2+3=3-a2,

当a≥3时,g(a)=f(3)=9-6a+3=12-6a.;规律方法1.求二次函数的最值,主要利用配方法,借助二次函数的单调性求解.

2.对于含参数的二次函数的最值问题,一般有如下几种类型:

(1)区间固定,对称轴变动(含参数),求最值;

(2)对称轴固定,区间变动(含参数),求最值;

(3)区