人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1.1 变化率问题 .ppt

第五章5.1.1变化率问题

课程标准1.理解平均速度和瞬时速度的关系,并会求解平均速度和瞬时速度.2.体会抛物线上割线与切线的关系,会求解抛物线上某点处的切线斜率.

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基础落实·必备知识一遍过

知识点1平均速度与瞬时速度1.平均速度:物体的位移与所用时间的比值,通常指物体在某一时间段的速度.若物体运动的位移与时间的关系式是s=f(t),函数f(t)在t0与t0+Δt之间

2.瞬时速度:在物理中,做变速运动的物体在不同的时刻,速度是不同的,我们把物体在某一时刻的速度称为.?若物体运动的位移与时间的关系式是s=f(t),当Δt趋近于0时,平均速度变速运动物体在不同时刻瞬时速度不同瞬时速度

名师点睛从物理的角度看,瞬时速度就是将平均速度的时间段改为时间点,即让时间段[t,t+Δt](Δt0)或者[t+Δt,t](Δt0)中的时间间隔|Δt|无限趋近于0,此时时间段[t,t+Δt](Δt0)或者[t+Δt,t](Δt0)内的平均速度就无限趋近于t时刻的瞬时速度.

自主诊断1.已知抛物线y=3x-x2在x0=2处的增量为Δx=0.1,则的值为()A.-0.11 B.-1.1C.3.89 D.0.29B解析令y=f(x)=3x-x2.∵Δy=f(2+0.1)-f(2)=(3×2.1-2.12)-(3×2-22)=-0.11,

2.[北师大版教材习题]某物体走过的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的函数关系为s=t2-1,通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度:(1)t=0;(2)t=2;(3)t=4.

知识点2割线斜率与切线斜率1.割线与切线的关系如图所示,当点Pn(xn,f(xn))沿着曲线无限趋近于点P0(x0,f(x0))时,割线P0Pn无限趋近于一个确定的位置.这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的.?切线

2.割线斜率与切线斜率的关系f(x0+Δx)-f(x0)可记为Δy,并且Δy可为正数,可为负数,可为零

思考辨析如图,我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大,观察有何现象出现?提示当不断放大时,曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线,即在很小的范围内,曲线可以看作直线,这就是以直代曲的思想.

自主诊断1.[苏教版教材习题]在下列3个图中,直线l为曲线在点P处的切线,分别求l的斜率.(1)(2)(3)

2.已知曲线y=2x2上一点A(2,8),则在点A处的切线斜率为()A.4 B.16 C.8 D.2C

重难探究·能力素养速提升

探究点一求物体运动的平均速度及瞬时速度角度1.平均速度【例1-1】在一次跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.(1)求运动员在0≤t≤0.5,1≤t≤2的平均速度;

规律方法求物体运动的平均速度的三个步骤第一步:求时间的改变量x2-x1;第二步:求位移的改变量f(x2)-f(x1);

变式训练1[人教B版教材例题]已知某物体运动的位移xm是时间ts的函数,而且t=0.1时,x=0.25;t=0.5时,x=2.25.(1)求这个物体在时间段[0.1,0.5]内的平均速度;(2)估计出t=0.2时物体的位移.(2)将x在[0.1,0.5]上的图象看成直线,则由(1)可知,直线的斜率为5,且直线通过点(0.1,0.25),因此,x与t的关系可近似地表示为x-0.25=5(t-0.1).在上式中令t=0.2,可求得x=0.75,即t=0.2时物体的位移可以估计为0.75m.

角度2.瞬时速度【例1-2】某物体的运动位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1s时的瞬时速度.分析

变式探究1在本例条件不变的前提下,试求物体的初速度.解求物体的初速度,即求物体在t=0时的瞬时速度.∴物体的初速度为1m/s.

变式探究2在本例条件不变的前提下,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.解设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.则2t0+1=9,∴t0=4.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.

规律方法求运动物体在t=t0时的瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量s(t0+Δt)-s(t0).

探究点二求解曲线的割线、切线斜率【例2】设函数f(x)=x(x-6),则此函数图象在(0,f(0))处的切线斜率为()A.0 B.-1 C.3 D