人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第四章 数列 4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用.ppt

第四章4.3.2第2课时等比数列前n项和的性质及应用

课程标准1.掌握等比数列前n项和的性质及其应用.2.能够运用学过的数列知识解决等差与等比数列的综合问题.3.能够运用等比数列的知识解决有关实际问题.

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基础落实·必备知识一遍过关

知识点等比数列前n项和的性质公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn,关于Sn的性质常考的有以下四类:(1)当Sn≠0时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍组成等比数列,该数列的公比是qn;(4)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm.

思考辨析为什么“当Sn≠0时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍组成等比数列,该数列的公比是qn”?提示从前n项和的定义出发易知,Sn=a1+a2+a3+…+an,S2n-Sn=an+1+an+2+an+3+…+a2n=(a1+a2+a3+…+an)qn,S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n=(an+1+an+2+an+3+…+a2n)qn,…,以此类推,所以当Sn≠0时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…组成公比是qn的等比数列.

自主诊断1.[2024浙江高二期末]已知一个等比数列的项数是偶数,其奇数项之和为1011,偶数项之和为2022,则这个数列的公比为()A.8 B.-2 C.4 D.2D

2.已知等比数列{an}的前3项和为1,前6项和为9,则它的公比q等于()C解析∵S3=1,S6=9,∴S6-S3=8=a4+a5+a6=S3q3=q3,即q3=8,∴q=2.

重难探究·能力素养速提升重难探究·能力素养速提升

探究点一等比数列前n项和的性质【例1】(1)在等比数列{an}中,若S2=7,S6=91,则S4=.?28解析∵数列{an}是等比数列,且易知公比q≠-1,∴S2,S4-S2,S6-S4也构成等比数列,即7,S4-7,91-S4构成等比数列,∴(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21.又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)0,∴S4=28.

(2)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,则公比q=.?2

规律方法等比数列前n项和的性质若等比数列{an}的前n项和为Sn,则(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).特别地,如果公比q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列.

B

(2)已知等比数列{an}共有32项,其公比q=3,且奇数项之和比偶数项之和少60,则数列{an}的所有项之和是()A.30 B.60 C.90 D.120D解析设等比数列{an}的奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则S奇=a1+a3+a5+…+a31,S偶=a2+a4+a6+…+a32=q(a1+a3+a5+…+a31)=3S奇.又S奇+60=S偶,则S奇+60=3S奇,解得S奇=30,S偶=90,故数列{an}的所有项之和是30+90=120.

探究点二等差数列与等比数列的综合问题的等差中项,6是2S2和3S3的等比中项.(1)求S2和S3;(2)求数列{an}的前n项和;(3)求数列{Sn}的前n项和.

规律方法数列综合问题的关注点(1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差与等比数列的通项公式、前n项和公式,以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.(2)利用等比数列前n项和公式时应注意公比q的取值,熟悉两种数列的性质,知道它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程组求解.

变式训练2已知各项均为正数的等差数列{an}的首项a1=1,a2,a4,a6+2成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;解(1)设等差数列{an}的公差为d(d0),∵a2,a4,a6+2成等比数列,∴=a2(a6+2),即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+5d+2),整理得2d2-d-a1=0,又a1=1,∴2d2-d-1=0,则an=a1+(n-1)d=n,∴数列{an}的通项公式为an=n.

探究点三数列在实际中的应用【例3】某企业进行技术改造,有两种方案.甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加5千元.两种方案的使用期都是10年,到期一次性归还本息.若银行两种形式