初中数学北师大版八年级上册堂堂清练习知识点梳理.docx

初中数学北师大版八年级上册堂堂清练习知识点梳理

一、教学内容

本节课的教学内容选自北师大版初中数学八年级上册，第三章《二次根式》，第一节《平方根与算术平方根》。本节内容主要包括平方根的定义、平方根的性质、算术平方根的定义及性质。

二、教学目标

1.理解平方根和算术平方根的概念，掌握它们的性质。

2.能够求一个数的平方根和算术平方根。

3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力。

三、教学难点与重点

重点：平方根和算术平方根的概念及性质。

难点：平方根和算术平方根的求法。

四、教具与学具准备

教具：黑板、粉笔、多媒体课件。

学具：练习本、笔、计算器。

五、教学过程

1.实践情景引入：

情景：小明想知道他的身高（单位：米）的平方根是多少？请同学们帮助他。

2.知识讲解：

（1）平方根的定义：如果一个非负数x的平方等于a，那么这个非负数x叫做a的平方根，记作√a。

（2）平方根的性质：一个正数的平方根有两个，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

（3）算术平方根的定义：一个非负数x的算术平方根是指满足√a×√a=a的正数a，记作√a。

（4）算术平方根的性质：一个正数的算术平方根只有一个；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。

3.例题讲解：

例1：求16的平方根。

解：16的平方根有两个，分别是4和4，因为4×4=16，(4)×(4)=16。

例2：求16的平方根。

解：16没有平方根，因为任何数的平方都是非负数。

4.随堂练习：

（1）求25的平方根。

（2）求25的平方根。

（3）求36的算术平方根。

5.知识应用：

小明想知道他的身高（单位：米）的平方根是多少，请同学们帮助他。

6.课堂小结：

本节课我们学习了平方根和算术平方根的概念及性质，掌握了求一个数的平方根和算术平方根的方法。

六、板书设计

平方根：

定义：如果一个非负数x的平方等于a，那么这个非负数x叫做a的平方根，记作√a。

性质：一个正数的平方根有两个，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

算术平方根：

定义：一个非负数x的算术平方根是指满足√a×√a=a的正数a，记作√a。

性质：一个正数的算术平方根只有一个；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。

七、作业设计

1.求下列各数的平方根：

（1）9

（2）25

（3）49

2.求下列各数的算术平方根：

（1）16

（2）0

（3）16

答案：

1.（1）3；（2）5；（3）7

2.（1）4；（2）0；（3）无解

八、课后反思及拓展延伸

本节课学生对平方根和算术平方根的概念及性质有了深刻的理解，能够熟练地求一个数的平方根和算术平方根。但在课堂实践中，发现部分学生对负数没有平方根和算术平方根的概念理解不够透彻，需要在今后的教学中加强引导和巩固。

拓展延伸：引导学生思考，是否存在实数的平方等于负数？如果存在，请给出例子。

重点和难点解析

一、平方根的性质

1.一个正数的平方根有两个，互为相反数。例如，4的平方根是2和2，因为2×2=4，(2)×(2)=4。

2.0的平方根是0，因为0×0=0。

3.负数没有平方根，因为任何数的平方都是非负数。

二、算术平方根的性质

1.一个正数的算术平方根只有一个。例如，9的算术平方根是3，因为3×3=9。

2.0的算术平方根是0，因为0×0=0。

3.负数没有算术平方根，因为任何数的平方都是非负数。

解析：

1.平方根的性质可以通过数学公式进行证明。假设一个正数x的平方根是a，那么a×a=x。由于a是x的平方根，所以a必须是正数。如果a是负数，那么a×a=(a)×(a)=x，这与a是x的平方根矛盾。因此，一个正数的平方根只能是正数。

2.算术平方根的性质也可以通过数学公式进行证明。假设一个正数x的算术平方根是a，那么a×a=x。由于a是x的算术平方根，所以a必须是正数。如果a是负数，那么a×a=(a)×(a)=x，这与a是x的算术平方根矛盾。因此，一个正数的算术平方根只能是正数。

3.负数没有平方根和算术平方根的原因是，任何数的平方都是非负数。如果存在负数的平方根，那么这个平方根乘以自己应该得到一个负数，这与数学规律矛盾。因此，负数没有平方根和算术平方根。

三、求一个数的平方根和算术平方根的方法

1.求一个数的平方根的方法：

（1）如果这个数是正数，可以通过开平方的方法求出它的平方根。例如，求16的平方根，可以先找到一个数的平方等于16，即4×4=16，所以16的平方