高中名校自主招生考试数学重点考点及习题精讲讲义下（含答案详解） .pdf

名校《强基计划》初升高衔接讲义（下）

第七讲几何定理..2

1.知识要点..龙

2.题精讲.・.2

3.习题巩固.T

4.自招链接.站

5.参考答案...6

第八讲几何计算..18

1.知识要点...18

2.题精讲...18

3.习题巩固...20

4.自招链接./Z

5.参考答案...22

第九讲几何不等式..38

1.知识要^...38

2.题精W.-38

3.习题巩固.浇臼

4.自招链接.Ml

5.参考答案...42

第十讲数论..52

1.知识要点.话?

2.题精W.-52

3.同余的基本性质.站？

4.自招链接..W

5.参考答案..SI

第十一讲组合..61

1.知识要点...61

3.题精＞..62

4.习题巩固.・.63

第十二讲高斯函数[%]..72

1.知识要点.

2.题精B..73

3.习题巩固...73

4.自招链接…*

5.参考答案...74

第七讲几何定理

1.知识要点

在几何证明中有很多定理十分的有趣,在介绍这些定理之前，先介绍一下正弦定理与

余弦定理.

正弦定理与余弦定理是揭示三角形中边角之间的数量关系的两个重要定理,而三角

形是最基本、最重要的几何图形,所以它们是联系三角与几何的纽带.因此，正弦定

理和余弦定理有着极广泛的应用，它们在代数方面主要用于解斜三角形、判定三角

形形状等等;在几何方面主要用于计算、证明以及求解几何定值与几何最值等等.

正弦定理:在三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等.这个表述等价于:在三角

形中，各边之比等于它所对的角的正弦之比.

有=工，此式变形得a\b\c-sinA:sinB:sinC.

sinAsinBsinC

余弦定理:在三角形中，任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹

角余弦的积的两倍.这个表述等价于:任何一角的余弦等于它的两条夹边的平方和减

去对边的平方的差除以夹边乘积的两倍所得的商.

a2=b2+c2—2bccosA,b2=a2+c2—2accosB,c2=a2+b2—2abcosC.

变形得cosA=号土C0S5=胃=cos”乌目

以上的证明过程可以使用勾股定理来证明.

2

2.例题精讲

1.（梅氏定理）如图7-1,E、M分别为AB、的上的任意一点、,D为EM与BC延长线

的交点求证普若器I

图7-1

2.（塞瓦定理）如图7-3，在△ABC电4、BB与CC相交于点0.试证明:华•当

ACBA

AC.

~r~=1.

CB

图7-3

3.若钝角三角形的三边分别为龙、2、x,试求x的取值范围.

4.证明:三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边距离的两倍.

5.证明：（斯德瓦尔特定理）如图7-5,△ABCRQ是BC上任意一点，则有

AB2•CD+AC2•BD=AD2,BC+BD・CD,BC.

图7-5

6.证明斯坦纳（Steiner）定理:若P为△ABC内任意一点，作D1BC，交BC于点D,

作ELCA于点饥作FLAB于点F.则

AF2+BD2+CE2=AE2+CD2+BF2.

3

7.证明笛沙格定理:如图7-7,平面上有两个三角形△ABC、/\ABC＞它们的对应

顶点Q4和才、B和B、C和C）的连线交于一点,这时如果对应边或其延长线相交,

则这三个交点共线.

G

8证.明阿波罗尼斯圆:如图7-8,到两定点4、B的距离之比为定比（值不为1）

的点矿位于将线段AB分成mm的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上.

图7-8

9证.明西姆松定理：

（1）如图7-11，从△扉C外接圆上任一点P向三边扉、B