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清华微积分答案

a=?f是向量值函数，可以观察，e与a平行时，f的方向导数最大，

且大小a.e=||a||，称a是f的梯度场

向量值函数的切平面、微分、偏导

f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))，若所有fi在x0处可微，则称f在x0处

可微，即

f(x)=f(x0)+a(x-x0)+o(||x-x0||)，其中

a=(aij)m*n=?f/?x=?(f1,f2,…,fm)/?(x1,x2,…,xn)=j(f(x0)))称为f在

x0处的jacobian(f的jacobian的第i行是f的fi分量的梯度，

aij:=?fi/?xj)

f的全微分df=adx

当m=n时，f有散度div(f)和旋度curl(f)

div(f)=?.f=?f1/?x1+…+?fm/?xm

复合函数求导

一阶偏导：

若g=g(x)在x0可微，f=f(u)(u=g(x))在g(x0)可微，则f○g在x0处

可微，

j(f○g)=j(f(u))j(g(x))

具体地，对于多元函数f(u)=f(u1,…,um)，其中u=g(x)即

ui=g(x1,…,xn)

?f/?xj

=?f/?u*?u/?xj

=sum[?f/?ui*?ui/?xj]{foreachuiinu}

高阶偏导：不要忘记偏导数还是复合函数

例：f(u):=f(u1,u2),u(x):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2))

?2f/(?x1)2=数学分析教程p151

隐函数、隐向量值函数

由f(x,y)=0确定的函数y=f(x)称为隐函数

隐函数：

1.存在定理：若n+1元函数f(x,y)在零点(x0,y0)处导数连续，

且?(f)/?(y)(x0,y0)0，则存在(x0,y0)附近的超圆柱体b=b(x0)*b(y0)，

使得b(x0)上的任意一点x可以确定一个y使得f(x,y)=0，即函数f

在b内确定了一个隐函数y=f(x)，而且这个隐函数的一阶偏导数也连

续

注：如果?(f)/?(y)=0，那么在x=x0超平面上，y在x0处取得了极

值，

那么沿曲面被x=x0截的曲线从x0处向任意方向走，y都会减小，

所以y

是双值函数，不是函数

,??)处，2.偏导公式：在b内的(??

????????/??????=???或者说

????????/????=?????不正式的证明：f(x,y)≡0,所以?f/?xi=0,即

sum[?f/?xj*?xj/?xi]=0(把y记做xn+1)

由于x的各分量都是自变量，?xj/?xi=0(ij)

所以?f/?xi+?f/?y*?y/?xi=0

于是立即可得上述公式

隐向量值函数：

1.存在定理：若x∈rn,y∈rm，m维n+m元向量值函数f(x,y)=0，

在p0=(x0,y0)点的某个邻域b(p0,r)内是c(1)类函数，f(p0)=0，且?f/?y

可逆，则存在p0的邻域b(x0)*b(y0)，使得对于在b(x0)内的任意x，

存在唯一y∈b(y0)满足f(x,y)=0，即f在b内确定了一个连续可微隐

函数y=f(x)

2.偏导公式：

j(f):=?(y1,…,ym)/?(x1,…,xn):=?y/?x

=-[?f/?y]-1*?f/?x

注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，a-1=a*/|a|，a*是a的余子矩阵

的转置

2.如果只求j(f)中的一列，?(y)/?(xi)=-[?(f)/?(y)]-1*