中南大学2018-2019学年第2学期高等代数(二)期末试卷.docxVIP

中南大学考试试卷(A)

2018-2019学年第二学期时间100分钟

高等代数（二）课程72学时4.5学分考试形式：闭卷

专业年级：2018级总分100分，占总评成绩60%

一、选择题(本题15分,每小题3分)

1.Fn的下列子集中不属于子空间的是(

A.x

B.x

C.x

D.x

2.下列映射中是双射的是().

A.σ

B.σ

C.σ

D.σ

3.设向量α,β,γ线性无关,W1=Lα,W

A.空集

B.零空间

C.L

D.L

4.设gx=x+1整除fx

A.1

B.2

C.3

D.4

5.设n阶方阵A满足A2=2A,则(

A.A

B.A

C.A

D.A

二、填空题(本题20分,每小题4分)

1.a,b为常数,则多项式fx除以x

2.A满足A2+2A+E=

3.线性变换σ关于基α1,α2的矩阵为abcd,

4.设α1,α2,?,αn是线性空间V

5.设σ为变换,V为欧式空间,且?η,ξ∈V,有σξ,

三、计算题

1.(11分)用初等对称多项式表示n元对称多项式f=∑

2.(12分)设A=422242

3.(12分)设R3中的两组基分别为α1=1,0,1T,α

(1)求基α1,α2

(2)已知向量α在基α1,α2,α3下的坐标为1

四、证明题(本题30分,每小题10分)

1.设A2=A,B2=B,证明:A和B有相同值域的充要条件是

2.设V1和V2分别为其次线性方程组x1+?+xn=0

3.在n维线性空间中,设有线性变换A与向量e使得An-1e≠0.证明:A

参考答案

一、选择题

1.B.B:零向量不在其中,故不是子空间.ACD容易验证满足2条子空间判定准则.

2.D.A:3没有原像,故不是满射.B:f1x=x+1与f2x=x的像均为gx=1,

3.B.任取x∈W1+W2∩W3,则存在k1,k2,x=k1α+k2β;且存在

4.B.由带余除法,fx=x+1qx

5.B.等式两边加上单位阵得A-E2=E

二、填空题

1.fa-fba-bx+afb-bfaa-b.由于除式为2次多项式,因此商rx

2.-1.由题意,A+E2=0,取行列式得A

3.dc33ba.过渡矩阵为

4.1?1.

5.正交.由正交变换的定义即可得到答案.

三、计算题

1.设f=σ12σ2+aσ22+bσ1σ3+cσ4.令x1=x2=

2.由λE-A=λ-22λ-8=0,得λ1=λ2=2,λ3=8.当λ=2时,有特征向量

U

此时,UT

(1)设β1,

A

α

故坐标为-2

四、证明题

1.(充分性)任取α∈ImA,则存在β∈V

α

因此ImA?ImB.同理,ImB

(必要性)首先证明:?α∈ImA,Aα=α.任取α∈ImA,存在β∈V,Aβ=α,故α=Aβ=A2β=Aα.若AB≠B,

2.求解齐次线性方程x1+?+xn=0得基础解系α1=1,-1,0,?,0,α2=1,0,-1,?,0,…,αn

3.首先证明:e,Ae,?,An-1e线性无关.设k0e+k1Ae+?+kn-1An-1e=0,两边作用An-1得k0An-1e