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平面对量的数量积及其应用
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预料热度
考题示例
考向
关联考点
1.数量积的定义
①理解平面对量数量积的含义及其物理意义;
②了解平面对量的数量积与向量投影的关系;
③驾驭数量积的坐标表达式,会进行平面对量数量积的运算
2024课标Ⅱ,4,5分
向量的数量积
向量的模
★★★
2024课标Ⅱ,3,5分
向量的数量积
向量的模
2024浙江,10,4分
向量的数量积
向量在平面
几何中的应用
2024天津,7,5分
向量的数量积
向量的坐标运算
2.平面对量数量积的应用
①驾驭求向量长度的方法;
②能运用数量积表示两个向量的夹角;
③会用数量积推断两个平面对量的垂直关系
2024课标Ⅰ,13,5分
向量的模的计算
向量的夹角
★★★
2024课标Ⅱ,12,5分
向量的数量积
最值问题
2024天津,13,5分
向量的数量积
向量的线性运算
分析解读1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.驾驭向量数量积的性质及运算律;驾驭求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,推断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.5.高考中常以选择题、填空题的形式呈现,分值为5分.
破考点
【考点集训】
考点一数量积的定义
1.(2024河北五个一名校联考,5)在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满意AP=2PM,则PA·(PB+PC)等于()
A.-49 B.-43 C.43
答案A
2.(2024北京朝阳期中,7)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,E是CD的中点,DC=1,AB=2,则EA·AB=()
A.5 B.-5 C.1 D.-1
答案D
3.(2024湖北天门等三地3月联考,13)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=5,则2a-b在a方向上的投影为.?
答案3
考点二平面对量数量积的应用
1.(2024河南豫南九校4月联考,4)已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,则|2
A.-53 B.1 C.2 D.
答案B
2.(2024福建三明一中期中,8)已知O是△ABC所在平面上一点,且满意|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2,则点O()
A.在过点C且与AB垂直的直线上
B.在∠A的平分线所在直线上
C.在边AB的中线所在直线上
D.以上都不对
答案A
3.(2024河北石家庄3月质检,6)若两个非零向量a,b满意|a+b|=|a-b|=2|b|,则向量a+b与a的夹角为()
A.π3 B.2π3 C.5π
答案D
炼技法
【方法集训】
方法1求向量长度的方法
1.(2024河北衡水中学六调,8)已知向量OA=(3,1),OB=(-1,3),OC=mOA-nOB(m0,n0),若m+n∈[1,2],则|OC|的取值范围是()
A.[5,25] B.[5,210)
C.(5,10) D.[5,210]
答案B
2.(2024四川双流中学期中,9)已知平面对量PA,PB满意|PA|=|PB|=1,PA·PB=-12,若|BC|=1,则|AC
A.2-1 B.3-1 C.2+1 D.3+1
答案D
方法2求向量夹角问题的方法
1.(2024云南玉溪模拟,4)已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量a,b夹角的余弦值为()
A.31010 B.-31010
答案C
2.(2024河南天一大联考(一),7)已知|a|=10,a·b=-530
A.2π3 B.3π4 C.5π
答案C
方法3数形结合的方法和方程与函数的思想方法
(2024北京西城月考,16)如图,已知边长为4的正方形ABCD中,E是BC边上一动点(与B、C不重合),连接AE,作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于F.设BE=x,f(x)=EC·CF,则函数f(x)的值域是.?
答案(0,4]
过专题
【五年高考】
A组统一命题·课标卷题组
考点一数量积的定义
1.(2024课标Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满意|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=()
A.4 B.3 C.2 D.0
答案B
2.(2024课标Ⅱ,3,5分)设向量a,b满意|a+b|=10,|a-b|=6,则a·b=()
A.1 B.2 C
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