22.1 二次函数的图象和性质 强化训练2024-2025学年人教版数学九年级上册.docx

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第二十二章二次函数

22.1二次函数的图象和性质强化训练

1．下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项．

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

2．若函数是关于x的二次函数，求m的值．

已知是二次函数，求a．

已知函数（为常数）是关于的二次函数，求的值．

5．已知函数，回答下列问题：

(1)m取什么值时，此函数是二次函数？

(2)m取什么值时，此函数是一次函数？

6．在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性．

x

…

0

1

2

3

4

…

…

…

…

…

…

…

(1)；

(2)；

(3)．

7．观察二次函数的图象，请问：

(1)什么时候y随x的增大而增大?什么时候y随x的增大而减小?

(2)什么时候函数有最大值或最小值?其最大值或最小值是多少?

8．下列函数在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①；②；③；④．根据图象回答下列问题：

(1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？

(2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？

已知二次函数经过点，且当时，有最大值，求这个二次函数的关系式．

10．（1）求抛物线的顶点坐标及对称轴方程；（2）当为何值时，随的增大而增大

11．求抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．

12．已知抛物线的对称轴为直线，且过点．

(1)求该抛物线的解析式；(2)当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值．

13．已知二次函数y=x2–x+.

（1）用配方法把这个二次函数的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式；（2）写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；（3）将二次函数y=x2的图象如何平移能得到二次函数y=x2–x+的图象，请写出平移方法．

14．如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线上有两个点、，它们的横坐标分别为，．若△AOB为直角三角形，求的值．

15．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作．

(1)求证：；(2)设点，求的最小值及此时点的坐标．

16．已知将二次函数的图像向上平移4个单位，再向左平移3个单位得到一新的二次函数，其图像与ｘ轴交于A，B两点，与ｙ轴交于C点，顶点为P点．解决下列问题

（1）求A、B、C的坐标；（2）求△ABC和△ABP的面积；（3）在新函数的图像上是否存在一点Q使得△ABQ的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

17．如图1，二次函数的图象交x轴于点，（点A在点B的左侧），交y轴负半轴于点C．

(1)若，求证：；

(2)如图2，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象，抛物线的顶点翻折后的对应点恰好落在x轴上，求a的值；

(3)如图3，过点C的一条直线与（2）中的图象交于点P，Q（点P在Q的左边），与交于点M，若，且满足，求a的值．

18．我们约定，在直角坐标系中，若不相同的两个点、满足，则称A、B互为“冲刺点”，若函数y上存在一组冲刺点，则称函数y为“冲刺函数”．

(1)判断下列函数是否为“冲刺函数”，对的在括号里打“√”，错的打“×”．

①（）；

②（）；

③（）；

(2)是否存在A、B两点既是一次函数上的“冲刺点”，又是二次函数上的“冲刺点”，若存在，求出这样的“冲刺点”坐标，若不存在，说明理由．

(3)若“冲刺函数”上的“冲刺点”为A、B两点，若P为函数上一动点，且该抛物线上有且只有3个点P满足的面积为1，若以A、B为顶点的正方形边长为1，求c值．

19．如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)当轴时，求的面积；

(3)当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围并写出这个定值；

当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为、，当时，直接写出的取值范围