人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第3章 函数的概念与性质 本章 总结提升 (2).pptVIP

本章总结提升

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知识网络·整合构建

专题突破·素养提升

专题一函数的三要素1.函数的三要素是指函数的定义域、对应关系、值域.其中定义域是研究函数时首先要考虑的,求函数的定义域多转化为解不等式问题.函数三要素的探求多用到换元、数形结合等方法.2.掌握函数的三要素,提升逻辑推理、数学运算、直观想象等数学素养.

【例1】(1)[2024湖南衡阳高一月考]已知函数f(x+1)的定义域为[1,7],则函数h(x)=f(2x)+的定义域为()A.[4,16] B.(-∞,1]∪[3,+∞)C.[1,3] D.[3,4]C解析函数f(x+1)的定义域为[1,7],则2≤x+1≤8,因此在f(2x)中,2≤2x≤8,所以函数h(x)的定义域为[1,3].故选C.

(2)[2024安徽阜阳高一期末]已知函数f(x2-1)=x4+1,则函数y=f(x)的解析式是()A.f(x)=x2+2x+2,x≥0 B.f(x)=x2+2x+2,x≥-1C.f(x)=x2-2x+2,x≥0 D.f(x)=x2-2x+2,x≥-1B

(3)[苏教版教材习题]函数f(x)=-x2+2x在[0,10]上的值域是.[-80,1]解析函数f(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=1,所以当x=1时,f(x)取得最大值1,当x=10时,f(x)取得最小值-80,所以函数的值域为[-80,1].

规律方法1.求函数的定义域,始终记住是求使函数有意义的自变量x的取值范围.2.求函数值域的方法:(1)与二次函数有关的函数,可用配方法(注意定义域)求值域;(4)基本不等式法:若函数解析式直接或变形能满足基本不等式的条件,可利用基本不等式求最值.

D

(2)已知函数y=f(x-1)的定义域是[-1,2],则y=f(1-3x)的定义域为()C解析由-1≤x≤2,得-2≤x-1≤1,所以-2≤1-3x≤1,解得0≤x≤1.

(3)已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x0时,f(x)=1-2x,则当x0时,y=f(x)的表达式为.?-1-2x解析y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x0时,f(x)=1-2x,则当x0时,-x0,f(x)=-f(-x)=-[1-2(-x)]=-1-2x,所以当x0时,y=f(x)的表达式为f(x)=-1-2x.

专题二函数图象的画法及应用1.画函数的图象,可以用描点法,也可以用变换法,要注意利用函数的单调性、周期性、奇偶性、对称性简化作图.2.利用函数的图象可以直观观察求函数值域、最值、单调性、奇偶性等,重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象.

(1)画出f(x)的大致图象;(2)若x∈[-2,3],求f(x)的最大值和最小值;(3)当f(x)≥2时,求实数x的取值范围.

解(1)当x≤0时,f(x)=x2,图象为抛物线的一部分,当x0时,f(x)=4-2x,图象为直线的一部分,可得图象:

(2)x∈[-2,3],由图象可知,当x=-2时,f(x)取得最大值,最大值为4;当x=3时,f(x)取得最小值,最小值为-2.

规律方法函数图象可以使问题变得直观,但仍要结合代数运算才能获得精确结果.

(1)在给定的坐标系中,作出函数f(x)的图象;(2)根据图象写出函数的单调递减区间;(3)如果直线y=a与函数f(x)的图象有三个交点,求a的取值范围.

解(1)描点连线,作图即可.(2)单调递减区间为(-∞,0),[0,2].(3)当a∈(-2,0)时,直线y=a和函数f(x)图象有三个交点.

专题三函数性质的应用函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性,利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点题型,解不等式时经常结合图象,一定要注意定义域的影响.掌握单调性和奇偶性的判断和证明,会综合运用函数的性质,进一步提升逻辑推理和直观想象素养.

(1)求实数m和n的值;(2)求函数f(x)在区间[-2,-1]上的最值.

∵-2≤x1x2≤-1,∴x1-x20,x1x21,x1x2-10,∴f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).∴函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递增.

规律方法1.解决有关函数性质的综合问题时,要综合考虑函数各种性质之间的关系,尽量画出函数图象,综合考虑题目中的其他条件解答.2.如果函数为抽象函数也要紧扣相关定义,同时根据解题需要给x灵活赋值.

变式训练3已知函数f(x)=ax2-4ax+b(a0)在[0,3]上的最大值为3,最小值为-1.(1)求f(x)的解析式;(2)若?x∈(1,+∞),使得f(x)mx,求实数m