人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第3章 函数的概念与性质 3.1.2 第2课时 分段函数 (2).pptVIP

第三章函数的概念与性质3.1.2第2课时分段函数

课程标准1.了解分段函数的概念.2.会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象.3.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题.

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基础落实·必备知识一遍过

知识点分段函数如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.分段函数是一个函数,而不是几个函数名师点睛学习分段函数应注意(1)处理分段函数问题时,要首先确定自变量的取值属于哪一个范围,然后选取相应的对应关系.要注意写解析式时各区间的端点能否取到,做到不重复、不遗漏.(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是分别求出各段上的值域后取并集.

思考辨析结合分段函数的特点,在解决分段函数问题时常常运用哪一种重要的数学方法?提示分类讨论的方法.

自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)分段函数是一个函数,其定义域为各段的定义域的并集.()(2)分段函数每一段对应函数值的集合均可以作为分段函数的值域.()(3)函数f(x)=|x-8|可以转化为分段函数的形式.()√×√×

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9解析f(5)=f(11)=11-2=9.

4.[苏教版教材例题]画出函数f(x)=|x|的图象,并求f(-3),f(3),f(-1),f(1)的值.所以函数f(x)的图象为过原点且平分第一象限、第二象限的一条折线,如图所示.其中,f(-3)=3,f(3)=3,f(-1)=1,f(1)=1.

重难探究·能力素养速提升

探究点一分段函数的求值

变式探究在例1已知条件下,若f(x)0,求x的取值范围.∴-2x0或0x2或x≥2,∴x的取值范围是(-2,0)∪(0,+∞).

规律方法1.求分段函数的函数值的步骤(1)先确定所求值对应的自变量属于哪一段区间.(2)再代入该段对应的解析式进行求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.2.已知函数值求自变量取值的步骤(1)先确定自变量可能存在的区间及其对应的函数解析式.(2)再将函数值代入到不同的解析式中.(3)通过解方程求出自变量的值.(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.

探究点二分段函数的图象及应用角度1.借助分段函数的图象求值域(2)作出函数的简图;(3)由简图指出函数的值域.

(2)简图如图所示.(3)由简图可知函数的值域为[-1,1].

规律方法分段函数图象的关注点(1)因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分.(2)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数来画图象.

变式训练1已知f(x)=x2-2|x|+2.(1)用分段函数的形式表示该函数;(2)画出f(x)在区间[-1,3]上的图象;(3)根据图象写出f(x)在区间[-1,3]上的值域.

解(1)当x≥0时,f(x)=x2-2x+2;当x0时,f(x)=x2+2x+2,(2)根据二次函数图象的性质,作图如下,(3)由图象可知,当x=-1或x=1时,函数有最小值为f(-1)=f(1)=1,当x=3时,函数有最大值为f(3)=5,所以f(x)在区间[-1,3]上的值域为[1,5].

角度2.借助分段函数的图象解方程(不等式)(1)在所给平面直角坐标系内画出函数的图象;(2)借助图象解方程f(a)=4;(3)借助图象写出不等式f(a)4的解集.

解(1)函数图象如图所示.(2)由图象易知当a=-4或a=2时,f(a)=4,故方程f(a)=4的解集为{-4,2}.(3)由图象知,当-4a2时,f(a)4,所以不等式f(a)4的解集为(-4,2).

规律方法如果y=f(x)是分段函数,在处理方程f(x)=a(常数)、不等式f(x)a等问题时,可采用两种方法:(1)分类讨论;(2)数形结合,即借助分段函数图象上关键的点求解.

(1)求f(f(1))的值;(2)若f(a)=2,求a的值;(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象,并根据图象写出函数f(x)2的解集.

(3)由题可作图如下.

探究点三分段函数在实际中的应用【例3】[北师大版教材习题]如图,动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始,顺次经过点C,D,A绕正方形的边界运动,最后回到点B.用x表示点P运动的路程,y表示△APB的面积,求y关于x的函数解析式.(当点P在AB上时,规定S