人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3.2 第1课时 函数的极值.ppt

第五章5.3.2第1课时函数的极值

课程标准1.了解函数的极值、极值点的概念.2.理解函数在某点取得极值的条件.3.会利用导数求函数的极值.

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基础落实·必备知识一遍过

知识点1函数极值的概念1.若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f(a)=0,而且在点x=a附近的左侧,右侧,就把a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.?只与附近值比较不是点的坐标f(x)0f(x)0

2.若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f(b)=0,而且在点x=b附近的左侧,右侧,就把b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.?3.极大值点和极小值点统称为,极大值和极小值统称为.?f(x)0f(x)0极值点极值

名师点睛1.极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.2.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.3.若函数在极值点处存在导数,则这点的导数为0,但导数为0的点可能不是函数的极值点.也就是说,若f(c)存在,则“f(c)=0”是“f(x)在x=c处取到极值”的必要条件,但不是充分条件.4.若f(x)在区间(a,b)内有极值,则f(x)在区间(a,b)内一定不是单调函数,即在某区间上单调的函数没有极值.

思考辨析函数的极大值一定大于极小值吗?提示不一定.如图所示,极大值f(x1)小于极小值f(x2).

自主诊断1.函数y=f(x)的部分图象如图所示,其中极大值点为;极小值点为.?x1,x3x2,x4

2.函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f(x)的部分图象如图所示,则下面结论错误的是()A.在区间(1,2)内函数f(x)单调递增B.在区间(3,4)内函数f(x)单调递减C.在区间(1,3)内函数f(x)有极大值D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点D解析根据导函数图象知,当x∈(1,2)时,f(x)0;当x∈(2,4)时,f(x)0,当x∈(4,5)时,f(x)0.∴f(x)在区间(1,2),(4,5)内单调递增,在区间(2,4)内单调递减,x=2是f(x)在区间[1,5]上的极大值点,x=4是极小值点.

知识点2函数极值的求法一般地,可按如下方法求函数y=f(x)的极值:可导函数在x=x0处取得极值的充要条件是f(x0)=0且在x=x0两侧f(x)符号相反解方程,当f(x0)=0时:?(1)如果在点x=x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是;?(2)如果在点x=x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是.?名师点睛导数等于0的点不一定是极值点;反之,若函数可导,则极值点一定是导数等于0的点,故需对f(x)=0的解进行检验.f(x)=0极大值极小值

思考辨析试联系函数y=f(x)=x3思考:当f(x0)=0时,能否肯定函数f(x)在x0处取得极值?提示因为f(x)=3x2,令f(x)=0,可知3x2=0,由此可解得x=0.但0不是f(x)=x3的极值点,因为f(0)=0,而0左侧的点的函数值总是小于0,且0右侧的点的函数值总是大于0.这也可以从图中函数f(x)=x3的图象看出来.

自主诊断[北师大版教材习题]求下列函数的极值,并画出其大致图象.(1)y=3x-x3;解y=3-3x2=3(1-x2)=3(1+x)(1-x).令y=0,得x1=-1,x2=1.列表如下:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)y-0+0-y单调递减极小值单调递增极大值单调递减y极小值=-2,y极大值=2.y=3x-x3的大致图象如图①所示.图①

(2)y=x4-6x3+21x2-6.解y=4x3-18x2+42x.令y=0,得2x(2x2-9x+21)=0,所以x=0.列表如下:x(-∞,0)0(0,+∞)y-0+y单调递减极小值单调递增y极小值=-6,无极大值.y=x4-6x3+21x2-6的大致图象如图②所示.图②

重难探究·能力素养速提升

探究点一函数极值的判定【例1】(1)[2024甘肃天水一模]函数y=f(x)的图象如图所示,则关于函数y=f(x)的说法正确的是()A.函数y=f(x)有3个极值点B.函数y=f(x)在区间(-∞,-4)上单调递增C.函数y=f(x)在区间