人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第五章 一元函数的导数及其应用 5.2.1 基本初等函数的导数.ppt

第五章5.2.1基本初等函数的导数

课程标准1.能应用导数的定义求y=c,y=x,y=x2,y=x3,的导数.2.掌握基本初等函数的导数公式,并会求函数的导数.

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基础落实·必备知识一遍过

知识点基本初等函数的导数公式函数导数f(x)=c(c为常数)f(x)=?f(x)=xα(α∈R,且α≠0)f(x)=?f(x)=sinxf(x)=?f(x)=cosxf(x)=?f(x)=ax(a0,且a≠1)f(x)=?f(x)=exf(x)=?即为上式中a=e时的特例0αxα-1cosx-sinxaxlnaex

函数导数f(x)=logax(a0,且a≠1)f(x)=注意对数函数的求导公式中,自变量的取值要大于零才有意义f(x)=lnxf(x)=?

名师点睛由于根式函数可以转化为幂函数的形式,因此可以利用幂函数的导数公

思考辨析对于幂函数f(x)=xα,当α分别取1,2,3,-1,时,f(x)分别为多少?

自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若f(x)=4x,则f(x)=4xlog4e.()×√

C

3.[北师大版教材习题]用定义法求函数y=f(x)=的导数f(x),并求f(1),f(2),f(3).

4.[人教B版教材例题]求曲线y=sinx在(0,sin0)处的切线方程.解因为(sinx)=cosx,所以所求切线的斜率为cos0=1,又因为sin0=0,所以所求切线方程为y-0=1(x-0),即y=x.

重难探究·能力素养速提升

探究点一利用导数的定义求函数的导数【例1】[北师大版教材例题]求y=f(x)=3x2-x的导数f(x),并利用f(x)求f(1),f(-2),f(0).解Δy=f(x+Δx)-f(x)=3(x+Δx)2-(x+Δx)-(3x2-x)=3(Δx)2+6xΔx-Δx.可得f(1)=6×1-1=5,f(-2)=6×(-2)-1=-13,f(0)=6×0-1=-1.

变式探究(变条件)将本例中“f(x)=3x2-x”改为“f(x)=3x2-x+2”,其他不变.解易得Δy和例1相同,故结果和例1一致.规律方法根据导数的定义易知(f(x)+c)=f(x),其中c为常数.

探究点二利用导数公式求函数的导数【例2】[2024湖南高二期末]求下列函数的导数.

规律方法利用导数公式求函数导数的方法(1)若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求解.(2)对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误.

变式训练1求下列函数的导数:

探究点三导数几何意义的应用

变式训练2[苏教版教材习题]设b为实数,若直线y=-x+b为函数y=图象的切线,求b的值及切点坐标.所以切点坐标是(-1,-1)或(1,1),当切点坐标是(-1,-1)时,代入直线的方程y=-x+b,得b=-2;当切点坐标是(1,1)时,代入直线的方程y=-x+b,得b=2.

★★【例3-2】[人教B版教材例题]已知函数f(x)=x2,而l是曲线y=f(x)的切线,且l经过点(2,3).(1)判断(2,3)是否为曲线y=f(x)上的点;(2)求l的方程.解(1)因为f(2)=22=4≠3,所以点(2,3)不是曲线y=f(x)上的点.(2)设切点为(x0,f(x0)).因为f(x)=2x,所以切线的斜率为f(x0)=2x0,由此可解得x0=1或x0=3,因此,切点为(1,1)或(3,9),切线方程为y-1=2(x-1)或y-9=6(x-3).即l的方程为y=2x-1或y=6x-9.

规律方法利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数;(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.两种情况的区别就在于切点已知和未知的问题,都需要借助导数的几何意义求解.

变式训练3[2024广东惠州高二统考]已知函数f(x)=x3.求:(1)曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;★★(2)曲线y=f(x)过点B(0,16)的切线方程.解(1)因为f(x)=3x2,所以f(1)=3,又f(1)=1,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.

本节要点归纳1.知识清单:(1)定义法求函数的导数.(2)公式法求函数的导数.(3)导数几何意义的应用.2.方法归纳:公式法