人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第四章 数列 培优课 求数列的通项.ppt

第四章培优课?求数列的通项

课程标准1.掌握利用累加、累乘法求数列的通项公式.2.会用构造法解决一些简单的求通项公式问题.3.会用前n项和Sn与an的关系求通项公式.

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探究点一利用累加、累乘法求数列的通项公式【例1】(1)[2024广东佛山高二期末]已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+n,则an=.?

(2)已知数列{an}满足a1=1,且nan+1=(n+1)an,则an=.?n

变式探究(变条件)将例1(1)中“an+1=an+n”改为“an+1=an+2n”,其余条件不变,求an.解当n≥2时,an-an-1=2n-1,所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2+22+…+2n-1=2n-1(n≥2),当n=1时也成立,故an=2n-1.

规律方法1.求形如an+1=an+f(n)的通项公式.将原来的递推公式转化为an+1-an=f(n),再用累加法(逐差相加法)求解,即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1),n≥2.2.求形如an+1=f(n)an的通项公式.

探究点二形如“an+1=pan+q”求通项公式【例2】数列{an}中,a1=1,an=3an-1+2(n≥2),则此数列的通项公式an=.?2×3n-1-1解析因为an=3an-1+2(n≥2),所以an+1=3(an-1+1),又a1=1,所以a1+1=2,所以{an+1}是以2为首项,3为公比的等比数列,所以an+1=2×3n-1,则an=2×3n-1-1.

规律方法1.形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式,构成新的等比数列,求出通项公式,求变量x是关键.

探究点三利用递推公式构造等比数列求通项(2)求数列{an}的通项公式.

规律方法此类求通项公式问题一般先证明题目中给出的新数列是等差(比)数列,然后再借助等差(比)数列的通项公式求原数列的通项公式,通常有以下几步:由等差(比)数列定义列出相邻两项的差(比)→代入已知条件化简整理→得到相邻的差(比)为常数,证明结束→借助构造出的等差(比)数列的通项公式求出原数列的通项公式

探究点四利用前n项和Sn与an的关系求通项公式【例4】(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-4,n∈N*,则an等于()A.2n+1 B.2n C.2n-1 D.2n-2A解析因为Sn=2an-4,所以n≥2时,Sn-1=2an-1-4,两式相减可得Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,所以=2.因为S1=a1=2a1-4,即a1=4,所以数列{an}是首项为4,公比为2的等比数列,则an=4×2n-1=2n+1,故选A.

(2)[2024辽宁沈阳高三模拟]已知数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an

规律方法已知Sn=f(an)或Sn=f(n)求数列{an}的通项公式的解题步骤第一步:利用Sn满足条件p,写出当n≥2时,Sn-1的表达式;第二步:利用an=Sn-Sn-1(n≥2),求出an或者转化为an的递推公式的形式;第三步:若求出n≥2时的{an}的通项公式,则根据a1=S1求出a1,并代入n≥2时的{an}的通项公式进行验证,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式.如果求出的是{an}的递推公式,则再由递推公式求通项公式.

本节要点归纳1.知识清单:(1)利用累加、累乘法求通项公式.(2)形如an+1=pan+q,an+1=pan+qn等形式的递推关系求通项公式.(3)通过数列的前n项和求通项公式.2.方法归纳:累加法、累乘法、构造法、转化思想.3.常见误区:(1)构造的新数列的首项易误认为还是a1;(2)易忽略递推公式变形中的等价性.

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121.已知数列{an}满足an+1=2an+3×5n,a1=6,则数列{an}的通项公式an等于()A.an=2n-1+5n B.an=2n-1-5nC.an=2n-1 D.an=21n-15A

12解析设an+1+x·5n+1=2(an+x·5n),①将an+1=2an+3·5n代入①式,得2an+3·5n+x·5n+1=2an+2x·5n,等式两边消去2an,得3·5n+x·5n+1=2x·5n,两边除以5n,得3+5x=2x