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巧用反比例函数图像性质解题

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与反比例函数和性质有关的问题,几乎在每一份中考试题中都可以找到,有基础题、中档题，也有作为选拔功能的综合题，与反比例函数相关问题是活跃在近年来中考中的重要问题。解这类问题时，应充分考虑它的图像性质，也就是它的对称性，这样既能从整体上思考问题，又能提高思维的周密性。

从近几年的中考中，利用反比例函数图像的对称性来求解的题型大概有以下几类：

第一类：反比例函数与正比例函数组成的图形，因为反比例函数的图像关于原点成中心对称，所以利用它的中心对称来解题可以简捷许多。

例1：2009年深圳的中考试题。如图：反比例函数y=-4/x的图像与直线y=-1/3x的交点为A、B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，求△ABC的面积。

分析：①常规解法：先求出A、B两点的坐标，再

求出线段AC、BC的长，最后求△ABC的面积，涉及到解方程组。②利用对称性来解：如果我们利用反比例函数图像性质，设点B的坐标为（a，b），由对称性知道点A的坐标为（-a，-b），∴△ABC的面积=1/2BC×AC=1/2×2ax（-2b）=-2ab∵B在双曲线y=-4/x上∴b=-4/a∴ab=-4∴S△ABC=-2×（-4）=8就不需要求出点A点B的坐标，而且学生也可以口算出结果。

理由：设反比例函数y=-R1/x与正比例函数y=R2x（且R1、R20）相交于A、B两点，由交点的概念可知：y=R1/x与y=R2x的公共解即为A、B两点坐标，即R1/x=R2X，X2=R1/R2

∴x=±■，y=R2·（±■）=±R2■

∴A（■，R2■）则B（-■，R2■）

所以我们可以归纳出这样的结论：若反比例函数y=R1/x与正比例函数y=R2x（R1、R20）相交于A、B两点，若A点坐标为（a，b），则点B的坐标一定是（-a，-b）。

第二类：反比例函数y=R/x（R＜0）与形如的一次函数相交的情形。

例如：2007年成都市中考题：已知如图：一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=m/x的图像交于A（-2，1），B（1，n）两点。

（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式。

（2）求△AOB的面积。

分析：常规解法：把A点坐标代入反比例函数y=m/x中求m的值，找出反比例函数的解析式，再将B点坐标代入反比例函数解析式中求出n，从而求出A、B两点坐标，再分别将A、B两点坐标代入一次函数y=kx+b（k≠0）中，求出一次函数解析式。这样让学生容易出错，部分学生同时把A、B两点的坐标都代入反比例函数和一次函数解析式，一看见有很多未知数就无法入手了。

如果我们利用反比例函数图像的性质，图像关于原点成中心对称，知道A点坐标为A（-2，1），则可得B点坐标为（1，-2）这样问题就简化了，直接代入一次函数解析式，也不会出现太多未知数，这样学生就容易多了。

理由是：设y=R1/x（R1＜0）与y=-x+b相交于A、B两点，根据题意可知：R1/x=-x+b∴x2-bx+R1=0x1，2=■

y1=■y2=■即A（a，b）则B（b，a）

同样对于y=R1/x（R1＜0）与y=x+b也有类似的结论A（a，b）则B（-b，-a）

第三类：反比例函数y=R1/x（R1＞0）与一次函数y=R2x+b（R1＜0）相交的情形。

例3：如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴，X轴分别相交于点A、点B，与反比例函数y=R/x相交于点C（1，6）、点D（3，n），过C作CE⊥y轴于E，过点D作DF⊥X轴于F，求证：EC=FB。

分析：常规解法：根据C点坐标求出反比例函数解析式，由反比例函数解析式求出点D坐标，由C、D坐标求出直线AB的解析式，由AB解式析求出点A、点B的坐标，由C点坐标求出CE的长度，由B点坐标和D点坐标可求出BF的长，从而得出EC与FB的关系。实际上，我们可以利用反比例函数图像性质：它是关于是直线y=x成轴对称，可得出AC=BD，可以很快得出△ACE与△BDF全等，就能得出CE=BF，而无需求出一次函数和反比例函数的解析式，简捷快速得多。

总之，利用反比例的图像的性质，利用它的对称性，利用“数形结合”来解题，就会把复杂问题简单化，有利于培养学生分析、解决问题的能力。

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-全文完-