人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值.ppt

第五章5.3.2第2课时函数的最大(小)值

课程标准1.了解函数的最大值、最小值的含义.2.会利用导数求函数的最大(小)值.3.掌握利用导数解决实际生活中最优化问题的方法.

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基础落实·必备知识一遍过

知识点1函数在闭区间上的最大(小)值1.一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条的曲线,那么它必有最大值和最小值.?不一定在区间端点处取得,且

最大值和最小值都是唯一的2.一般地,求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的;?(2)将函数y=f(x)的与处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是,最小的一个是.?连续不断极值各极值端点最大值最小值

名师点睛1.给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,尽管函数图象是连续的,那么它也不一定有最大值和最小值.例如函数f(x)=在区间(0,2)上的图象是连续不断的曲线,但在该区间上,函数f(x)既没有最大值,也没有最小值.2.如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上单调,那么函数的最值在区间端点处取得.3.函数的最大(小)值是一个整体性概念,最大值(最小值)必须是整个区间内所有函数值中的最大值(最小值).

思考辨析极值与最值有何区别和联系?提示(1)函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质,是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较.(2)函数在闭区间上的极值不一定是最值,需要将极值和区间端点的函数值进行比较.(3)如果连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值.

自主诊断1.如下图,可知函数y=f(x)在区间[a,b]上的极大值为;极小值为;最大值为,最小值为.?f(x1),f(x3)f(x2),f(x4)f(b)f(x4)

2.下列结论正确的是()A.若f(x)在区间[a,b]上有极大值,则极大值一定是区间[a,b]上的最大值B.若f(x)在区间[a,b]上有极小值,则极小值一定是区间[a,b]上的最小值C.若f(x)在区间[a,b]上有极大值,则极大值一定是在x=a和x=b处取得D.若f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上存在最大值和最小值D解析函数f(x)在区间[a,b]上的极值不一定是最值,最值也不一定是极值,极值一定不会在端点处取得,而若f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上一定存在最大值和最小值.

3.[苏教版教材例题]求f(x)=x2-4x+3在区间[-1,4]上的最大值与最小值.解f(x)=2x-4.令f(x)=0,解得x=2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表所示.x-1(-1,2)2(2,4)4f(x)-6-0+4f(x)8↘-1↗3从上表可知,函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1,4]上的最大值是8,最小值是-1.

知识点2生活中的优化问题在实际生产生活中,求利润最大、用料最省、效率最高等问题,通常称为优化问题.名师点睛用导数解决实际生活问题的基本思路

思考辨析在实际问题中,若在定义域内函数只有一个极值点,则函数在该点处取最大(小)值吗?你能列举几个关于利润的等量关系吗?提示根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最大(小)值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值.举例:利润=收入-成本,利润=每件产品的利润×销售件数.

自主诊断1.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高应为()B

2.[苏教版教材习题]把长为60cm的铁丝围成矩形,当长、宽各为多少时矩形的面积最大?解设矩形的长为xcm,则宽为(30-x)cm,矩形面积为S(x)=x(30-x)=30x-x2(0x30).令S(x)=30-2x=0,得x=15.当0x15时,S(x)0;当15x30时,S(x)0.所以S(x)在x=15处取得极大值,这个极大值也是S(x)的最大值.答:当长为15cm,宽为15cm时,矩形面积最大.

重难探究·能力素养速提升

探究点一求函数的最大(小)值角度1.求函数在闭区间上的最大(小)值【例1-1】求下列函数在相应区间上的最大值与最小值:(1)f(x)=x3-3x2-10,x∈[-1,1];分析求函数的导数,得到函数的极值点,先求出极值,再结合定义域,将所有极值与区间端点的函数值进行比较求得最大(小)值.

解f(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f(x)=