单调性的不同设问形式及解答方式.docx

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单调性的不同设问形式及解答方式

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：G633.6：A：1673-0992（2010）08—122-02

摘要：函数的性质是高中数学中最重要的内容，它贯穿高中教材的始终，也是历年高考的重点。而函数的单调性又是函数的最重要的性质之一，是高考命题的热点，而实际为考察函数的单调性，但以其它形式命题的试题又鲜有出现。

关键词：单调性；设问形式；解答方式

函数的性质是高中数学中最重要的内容，它贯穿高中教材的始终，也是历年高考的重点。而函数的单调性又是函数的最重要的性质之一，是高考命题的热点，而实际为考察函数的单调性，但以其它形式命题的试题又鲜有出现。本文就一些这类形式的命题提出，与大家商榷。

一、解抽象不等式

例：已知函数f(x)的定义域为R，对任意x1、x2∈R，都有f(x1)+f(x2)=f(x1+x2)且x0时，f(x)0,f(1)=-2.⑴试

断f(x)在[-3，3]上有无最大值和最小值，若有求出最值，若无说明理由；⑵解关于x的不等式?f(bx2)-f(x)?f(b2x)-f(b)(b2#2)q

点拨：此题从表面上看求抽象不等式，实际是先判断抽象函数的单调性。

解：(1)令x1=x2=0,则f(0)=0,

令x1=x,x2=-x,则f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0,即f(x)=-f(-x)，

∴f(x)在R上为奇函数.设x1x2，则f(x2)-f(x1)=f〔(x2-x1)+x1〕-f(x1)

=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)

=f(x2-x1)

∵x2-x10,∴f(x2-x1)0,即f(x2)-f(x1)0,∴f(x2)f(x1),则f(x)在R上递减.

则f(x)在[-3，3]上有最大值和最小值。

∴f（x）mex=f(-3)=6,f(x)min=f(3)=-6.f（x）mex

⑵.f(bx2)-f(x)f(b2x)-f(b)，f(bx2)-f(b2x)f(x)-f(b)

∵f(x1)+f(x2)=f(x1+x2),∴f(bx2-b2x)f(x-b),即f(bx2-b2x)2f(x-b)=f(x-b)+f(x-b)=f(2x-2b),

∴由其单调性得bx2-b2x2x-2b

即bx2-（b2+2）x+2b0(bx-2)(x-b0.

当b=0时，原不等式为：-2x0,即x0.

当b0时,原不等式为：(x-)(x-b)0,∵≠b,若b,即b20＜b＜时，b＜ⅹ＜若＜b,即b2＞2?b＞时＜xb.＞2?b＞

当b＜0时,原不等式为：(x-)(x-b)0,若＞b,即b＜-时，x＞或x＜b;若＞b,即-＜b＜0时，＞b或x＜.

综合可得：b=0时，解为{x|x0},0＜b＜时，解为{x|b＜×＜},b＞时，

解为{x|＜×＜b}，b＜-时，解为{x|x＞或x＜b}，-＜b＜0时，，解为{x|x＞b或x＞}.

二、求解与方程解的个数有关的命题

例.已知函数f(x)=log4（4+1）+kx(k∈R)是偶函数.⑴求k的值；⑵证明对任意实数b,函数y=f(x)的图像与直线y=-x最多只有一个交点；⑶设g(x)=log4（a2-a若函数f(x)与g(x)的图像有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.

点拨：此题的第⑵问，从表面上看是求两函数图像的交点个数，实际是变化后判断新函数的单调性.

解：⑴由函数f(x)是偶函数可知f(x)=f(-x)，∴log4(4+1)+kx=log4(4+1)-kx.

∴=-2kx,即x=-2kx对一切x∈R恒成立，∴k=-

⑵证明：由题意可知，只要证明函数y=f(x)+x=log4(4+1)+x在定义域R上是单调函数即可.

在log4(4+1)中，4＞1，f1(x)=log4(4+1)为R上的增函数，又y=x为R上的增函数，∴y=f(x)+x为R上的增函数，故y=f(x)的图像与直线y=-x+b最多有一个交点。

⑶函数f(x)与g(x)的图像有且只有一个公共点，即方程log4(4+1)-x=log4（a.2-a）有且只有一个实根，化

简得方程2+=a有且只有一个实根,令t=.2x＞0,则方程(a-1)t-at-1=0有且只有一个正根.①a=1，t=-,不合题意.②a≠1时，△=0时，a=或a=-3,若a=时，t=-2,不合题意；若a=-3时，③一个正根与一个负根，即＜0时a＞1.

综上，实数a的取值范围是{-3}U（1，+∞）.

三、与解析几何有关的命题

例.已知函数f(x)=lg(ax-bx)(a＞1＞b＞0)⑴求：y=f(x)的定义域；⑵在函数y=f(x)的图像上是否存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴；⑶当a,b满足什么关系时，f(x)在(1，+∞）上恒取正值.

点拨：从表面上看是求直线的斜率，实则是判断函数f(x)的单调性.

解：⑴由axbx得（）x＞