人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第3章 函数的概念与性质 3.2.2 奇偶性 (2).pptVIP

;;基础落实·必备知识一遍过;;;名师点睛

对函数奇偶性定义的理解

函数的奇偶性是相对于定义域D内的任意一个x而言的,而函数的单调性是相对于定义域内的某个子集而言的,从这个意义上讲,函数的单调性属于“局部性质”,而函数的奇偶性属于“整体性质”.;思考辨析

1.x∈(-5,5]能作为奇(偶)函数的定义域吗?;自主诊断

1.“f(-x)=-f(x)”是“函数y=f(x)是奇函数”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=-x+1,则f(-2)=.?;3.[北师大版教材例题]根据定义,判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)=-2x5;;解根据定义知,如果一个函数是奇函数或偶函数,

那么它的定义域是关于原点对称的.;;名师点睛

1.奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反.若奇函数f(x)在区间[a,b](0ab)上有最大值M,最小值m,则f(x)在区间[-b,-a]上的最大值为-m,最小值为-M;偶函数f(x)在区间[a,b],[-b,-a](0ab)上有相同的最大(小)值.

2.设a为给定实数,函数f(x)的定义域为A.

(1)若对于任意x∈A,都有f(a-x)-f(a+x)=0,则此函数的图象的对称轴是直线x=a.

(2)若对于任意x∈A,都有f(a-x)+f(a+x)=0,则此函数的图象的对称中心是(a,0).;思考辨析

若f(x)为奇函数,且点(x,f(x))在其图象上,则还有哪一个点一定在其图象上?若f(x)为偶函数呢?;自主诊断

1.f(x)=x3+的图象关于对称.?;2.[苏教版教材习题]已知函数f(x)在y轴右边的图象如图所示.

(1)若f(x)是偶函数,试画出函数f(x)在y轴左边的图象;

(2)若f(x)是奇函数,试画出函数f(x)在y轴左边的图象.;解(1)依题意,当函数是偶函数时,图象关于y轴对称.

根据f(x)在y轴右侧的图象,作其关于y轴的轴对称图形,可得函数在y轴左侧的图象,如图①.

(2)当函数是奇函数时,图象关于原点对称,根据函数在y轴右侧的图象,作其关于原点的中心对称图形即可得到函数在y轴左侧的图象,如图②.;;;解(1)因为函数的定义域为R,所以x∈R时,-x∈R.

又因为f(-x)=(-x)+(-x)3+(-x)5=-(x+x3+x5)=-f(x),

所以函数f(x)=x+x3+x5是奇函数.

(2)因为函数的定义域为R,所以x∈R时,-x∈R.

又因为f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),所以函数f(x)=x2+1是偶函数.

(3)因为函数??定义域为R,所以x∈R时,-x∈R.

又因为f(-1)=0,f(1)=2,所以f(-1)≠-f(1)且f(-1)≠f(1),因此函数f(x)=x+1既不是奇函数也不是偶函数(也可说成f(x)是非奇非偶函数).

(4)因为函数的定义域为[-1,3],而3∈[-1,3],但-3?[-1,3],

所以函数f(x)=x2,x∈[-1,3]是非奇非偶函数.;规律方法判断函数奇偶性的两种方法

(1)定义法:;(2)图象法:;变式训练1判断下列函数的奇偶性:;(4)f(x)=|x+2|+|x-2|.;;(2)已知f(x)为R上的奇函数,当x0时,f(x)=-2x2+3x+1.

①求f(0);

②求f(x)的解析式.;变式探究若将例2(2)中的“奇”改为“偶”,“x0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.;规律方法利用函数奇偶性求解析式的方法

(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.

(2)要利用已知区间的解析式进行代入.

(3)先求出f(-x),再利用f(x)的奇偶性求出f(x).

提醒:若函数f(x)的定义域包含0且f(x)为奇函数,则必有f(0)=0,但若为偶函数,则未必有f(0)=0.;;解(1)由题意补全函数图象,如图所示.

(2)由图象可知,函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).

(3)由图象可知,使f(x)0的x的取值范围为(-2,0)∪(0,2).;规律方法由于奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,因此根据奇、偶函数图象的对称性可以解决如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.;变式训练2已知f(x)为奇函数,其局部图象如图所示,那么()

A.f(2)=2 B.f(2)=-2

C.f(2)-2 D.f(2)-2;角度2.利用奇偶函数的性质求值

【例3—2】(1)若函数f(x)=ax2+2bx+4a+b是偶函数,定义域为[3a,a+2],则a+b=.?;(2)[人教B版教材