第3章　§3.1　不等式的基本性质.docx

［学习目标］1.了解等式的基本性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.3.初步学会用作差法（作商法）比较两实数的大小.

一、作差法比较大小

问题1在初中，我们知道数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？

知识梳理

基本事实

依据

ab??

a=b??

ab??

结论

要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的与的大小?

例1已知a，b均为正实数.试利用作差法比较a3+b3与a2b+ab2的大小.

延伸探究

1.若a0，b0，则比较a5+b5与a3b2+a2b3的大小.

2.对于an+bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？

反思感悟作差法比较两个实数a，b大小的基本步骤

跟踪训练1比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.

二、不等式的性质

问题2你能根据下列等式的性质，类比出不等式的性质吗？

（1）如果a=b，那么b=a；

（2）如果a=b，b=c，那么a=c；

（3）如果a=b，那么a±c=b±c；

（4）如果a=b，那么ac=bc.

知识梳理

不等式的性质

性质

别名

性质内容

注意

1

对称性

ab?ba?

?

2

传递性

ab，bc?ac

3

可加性

ab?a+cb+c?

4

可乘性

ab，c0??

ab，c0??

c的符号

5

同向

可加性

ab，cd?

?

同向

6

同向同正

可乘性

ab0，cd0

??

同向

例2对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是（）

A.若ab，则ac2bc2

B.若ab0，则1a

C.若ab0，则ba

D.若ab，1a1b，则a0，

反思感悟利用不等式性质判断命题真假的注意点

（1）运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.

（2）也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.

跟踪训练2（多选）若1a1b0，则下面四个不等式成立的有

A.|a||b| B.ab

C.a+bab D.aba2

三、利用不等式性质求代数式范围

例3已知-1x4，2y3.

（1）求x-y的取值范围；

（2）求3x+2y的取值范围.

延伸探究若将本例条件改为-1x+y4，2x-y3，求3x+2y的取值范围.

反思感悟利用不等式的性质求取值范围的策略

（1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.

（2）同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.

跟踪训练3已知-2≤x≤-1，2≤y≤3，求x-y，xy的取值范围

四、利用不等式性质证明不等式

例4已知ab0，cd0，e0，求证：ea-c

延伸探究若ab0，cd0，e0，求证：e（a-

反思感悟利用不等式的性质证明不等式的注意事项

（1）利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.

（2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.

跟踪训练4已知cab0，求证：ac-a

1.知识清单：

（1）作差法比较大小.

（2）不等式的性质.

（3）利用不等式性质求代数式的范围.

（4）利用不等式性质证明不等式.

2.方法归纳：作差法（作商法）、特殊值法.

3.常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性.

1.设ba，dc，则下列不等式中一定成立的是（）

A.a-cb-d B.acbd

C.a+cb+d D.ad

2.已知xa0，则下列不等式一定成立的是（）

A.x2a20 B.x2axa2

C.x2ax0 D.x2a2ax

3.若y1=2x2-2x+1，y2=x2-4x-1，则y1与y2的大小关系是（）

A.y1y2

B.y1=y2

C.y1y2

D.随x值变化而变化

4.若1a2，-1b3，则a-b的取值范围是.?

答案精析

问题1设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B.那么,当点A在点B的左边时,ab;当点A在点B的右边时,ab.

知识梳理

a-b0a-b=0a-b0差0

例1解∵a3+b3-(a2b+ab2)

=(a3-a2b)+(b3-ab2)

=a2(a-b)+b2(b-a)

=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).

当a=b时,a-b=0,a3+b3=a2b+ab2;

当a≠b时,(a-b)20,a+b