第3章　培优课　不等式恒成立、能成立问题.docx

培优课不等式恒成立、能成立问题

在面临不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养.

一、在R上的恒成立问题

例1（1）已知不等式kx2+2kx-（k+2）0恒成立，求实数k的取值范围；

（2）若不等式-x2+2x+3≤a2-3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.

反思感悟转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2+bx+c0（a≠0）恒成立?a

ax2+bx+c0（a≠0）恒成立?a

ax2+bx+c≥0（a≠0）恒成立?a

ax2+bx+c≤0（a≠0）恒成立?a

注意：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0.

跟踪训练1若关于x的不等式kx2+3kx+k-20的解集为?，则实数k的取值范围是（）

A.k-45

C.k-45

二、在给定区间上恒成立的问题

例2当1≤x≤2时，不等式x2+mx+40恒成立，则实数m的取值范围为.?

例3设函数y=mx2-mx-1，1≤x≤3，若y-m+5恒成立，则实数m的取值范围为.?

反思感悟在给定区间上的恒成立问题

（1）当a0时，ax2+bx+c0在x∈｛x|α≤x≤β｝上恒成立?y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时小于0；当a0时，ax2+bx+c0在x∈｛x|α≤x≤β｝上恒成立?y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时大于0.

（2）通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题.

跟踪训练2若对任意的-3≤x≤-1都有ax2-x-30成立，则实数a的取值范围是.?

三、简单的能成立问题

例4若存在x∈R，使得4x+mx2-2

反思感悟能成立问题的解题思路

（1）结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决；

（2）对一些简单的问题，可转化为mymin或mymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围.

跟踪训练3若关于x的不等式ax2+x+10在x∈［1，2］上有解，则实数a的取值范围为.

1.知识清单：

（1）在R上的恒成立问题.

（2）给定区间上的恒成立问题.

（3）解决简单的能成立问题.

2.方法归纳：等价转换法、数形结合法.

3.常见误区：要注意端点值的取舍.

1.若关于x的不等式x2+mx+1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是（）

A.｛m|m≥2｝

B.｛m|m≤-2｝

C.｛m|m≤-2或m≥2｝

D.｛m|-2≤m≤2｝

2.对于任意x∈R，mx2+2mx+2

A.｛m|m≥2｝

B.｛m|0m≤2｝

C.｛m|0≤m≤2｝

D.｛m|0≤m≤4｝

3.已知1≤x≤2，x2-ax0恒成立，则实数a的取值范围是（）

A.｛a|a≥1｝ B.｛a|a1｝

C.｛a|a≤1｝ D.｛a|a1｝

4.若命题“?x∈R，x2-2mx+m+20”为真命题，则实数m的取值范围是.?

答案精析

例1解(1)当k=0时,原不等式化为-20,显然符合题意.

当k≠0时,令y=kx2+2kx-(k+2),由y0恒成立,∴其图象都在x轴的下方,即开口向下,且与x轴无交点.∴k

解得-1k0.

综上,实数k的取值范围是

{k|-1k≤0}.

(2)原不等式可化为

x2-2x+a2-3a-3≥0,

∵该不等式对任意实数x恒成立,

∴Δ≤0,即4-4(a2-3a-3)≤0,

即a2-3a-4≥0,

解得a≤-1或a≥4,∴实数a的取值范围是{a|a≤-1或a≥4}.

跟踪训练1D[当k=0时,-20无解,符合题意;当k≠0时,需满足k0且9k2-4k(k-2)=5k2+8k≤0,得-85≤k0,综上,k的取值范围为k-

例2{m|m-5}

解析令y=x2+mx+4.

∵y0在1≤x≤2上恒成立.∴y=0的根一个小于1,另一个大于2.

如图,可得

m

∴m的取值范围是{m|m-5}.

例3m

解析y-m+5在1≤x≤3上恒成立,

即m(x2-x+1)-60恒成立,

∵x2-x+1=x-12

∴m6x

令t=6x2-

t在1≤x≤3上的最小值为67

∴只需m67即可.故实数m的取值范围为m

跟踪训练2{a|a0}

解析ax2-x-30在-3≤x≤-1上恒成立,等价于ax+3x2=3x2+1x在-1≤1x≤-13上恒成立,令m=1x,即a3m2+m在-1≤m≤-13上恒成立,二次函数y=3m2+m的对称轴为m=-16,所以当m

例4解∵x2-2x+3=(x-1)2+20,∴4x+m≥2(x2-2x+3)能成立,

∴m≥2x2-8x+6能成立,

令y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2,∴m