第3章　培优课　基本不等式的综合问题.docx

培优课基本不等式的综合问题

基本不等式ab≤a+b2（a，b≥

一、常数代换法求最值

例1已知x，y是正数且x+y=1，则4x+2+1y

A.1315 B.9

C.2 D.3

反思感悟常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.

跟踪训练1已知a0，b0，a+2b=1，求t=1a+1b

二、消元法求最值

例2已知x0，y0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值.

延伸探究已知x0，y0，满足xy=x+y+3，求xy的最小值.

反思感悟对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题.

跟踪训练2已知a0，b0，且2a+b=ab-1，则a+2b的最小值为.?

三、换元法求最值

例3已知x，y为正实数，且x+2y=4，则x2x+2+2y

反思感悟换元法求最值的思路

观察已知与所求的结构特点，通过配凑系数，合理的变换新元，将问题转化为熟悉的模型，将问题明朗化，从而使问题得以解决.

跟踪训练3已知a0，b0且a+b=3，式子2024a+2022+2024b+2023

1.知识清单：

（1）常数代换法求最值.

（2）消元法求最值.

（3）换元法求最值.

2.方法归纳：常数代换法、消元法、换元法.

3.常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件或符号导致错误.

1.y=x2+8x-1（x

A.8 B.2

C.6 D.12

2.已知x0，y0，1x+9y=1，则使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围是

A.m≥18 B.m≤18

C.m≥16 D.m≤16

3.若正数x，y满足x2+xy-2=0，则3x+y的最小值是（）

A.4 B.22

C.2 D.42

4.已知x，y为正实数，且x+y=2，则1x+1xy的最小值为

答案精析

例1B[由x+y=1,

得(x+2)+(y+1)=4,

即14[(x+2)+(y

∴4x+2

=4x+2+1y

=1

≥14(5+4)=9

当且仅当x=23,y=13时,

∴所求最小值为94.

跟踪训练1解因为a0,b0,a+2b=1,

所以t=1a+1b=1a+1

=a+2ba+a+2b

≥3+22ba·

当且仅当2

即a=2-1,b

故t的最小值为3+22.

例2解由x+2y+2xy=8,可知y=8-x

因为x0,y0,所以0x8.

所以x+2y=x+8-xx+1=x+9-1-xx+1=x+9x+1-1=

当且仅当x+1=9x

即x=2时,等号成立.

所以x+2y的最小值为4.

延伸探究解由题意可知y=x+3

因为x0,y0,

所以x-10,

所以xy=x·x+3x

=x

=x-1+4x

≥24+5=9,

当且仅当x-1=4x-1,即x=3时,

所以xy的最小值为9.

跟踪训练25+26

解析由2a+b=ab-1,

得a=b+1

因为a0,b0,

所以a=b+1b-2

所以b2,

所以a+2b=b+1b-2+2b=(b-2)+3b-2

≥22(b

=5+26,

当且仅当2(b-2)=3b

即b=2+62时,等号成立

所以a+2b的最小值为5+26.

例32

解析令x+2=a,2y+2=b,

则a+b=8,

原式转化为(a-2)

=a+b+4a+4b-8=4

=18(a+b)

=1+12ba+aa≥2,当且仅当a=b=4时取等号,此时x=2,

跟踪训练32

解析令a+2022=x,b+2023=y,

则x2022,y2023且x+y=4048,

∴14048(x+y

∴2024a+2022

=20241

=20241x+1y·

=1+1

≥1+12×2y

当且仅当yx=xy,即x=y=2024时,等号成立,此时a=2,

∴所求最小值为2.

随堂演练

1.A2.D3.A4.1+3